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Beliebt Trigonometrie >

2cot(x)+sec^2(x)=0

Lösung

2 cot (x) + sec^{2} (x) = 0

Lösung

x = \frac{3 π}{4} + πn

Grad

x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cot (x) + sec^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sec^{2} (x) + 2 cot (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{1}{tan ( x )}

= sec^{2} (x) + 2 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

2 \cdot \frac{1}{tan ( x )} = \frac{2}{tan ( x )}

2 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{tan ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{tan ( x )}

= sec^{2} (x) + \frac{2}{tan ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) + 1

1 + \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + \frac{2}{tan ( x )} + tan^{2} (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

1 + \frac{2}{u} + u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

1 \cdot u + \frac{2}{u} u + u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

1 \cdot u + \frac{2}{u} u + u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

1 \cdot u : u

1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= u

Vereinfache

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 2

Vereinfache

u^{2} u : u^{3}

u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= u^{3}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

u + 2 + u^{3} = 0

u + 2 + u^{3} = 0

u + 2 + u^{3} = 0

Löse

u + 2 + u^{3} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u + 2 + u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + u + 2 = 0

Faktorisiere

u^{3} + u + 2 : (u + 1) (u^{2} - u + 2)

u^{3} + u + 2

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 2, a_{n} = 1

Die Teiler von

a_{0} : 1, 2,

Die Teiler von

a_{n} : 1

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1 , 2}{1}

- \frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1}

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} - u + 2

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1}

Dividiere

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} : \frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u^{3} + u + 2

und des Teilers

u + 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multipliziere

u + 1

mit

u^{2} : u^{3} + u^{2}

Substrahiere

u^{3} + u^{2}

von

u^{3} + u + 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - u^{2} + u + 2

Deshalb

\frac{u ^{3} + u + 2}{u + 1} = u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

= u^{2} + \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1}

Dividiere

\frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} : \frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} = - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- u^{2} + u + 2

und des Teilers

u + 1 : \frac{- u ^{2}}{u} = - u

Quotient = - u

Multipliziere

u + 1

mit

- u : - u^{2} - u

Substrahiere

- u^{2} - u

von

- u^{2} + u + 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u + 2

Deshalb

\frac{- u ^{2} + u + 2}{u + 1} = - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

= u^{2} - u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

Dividiere

\frac{2 u + 2}{u + 1} : \frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u + 2

und des Teilers

u + 1 : \frac{2 u}{u} = 2

Quotient = 2

Multipliziere

u + 1

mit

2 : 2 u + 2

Substrahiere

2 u + 2

von

2 u + 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

= u^{2} - u + 2

= (u + 1) (u^{2} - u + 2)

(u + 1) (u^{2} - u + 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or u^{2} - u + 2 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u^{2} - u + 2 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u^{2} - u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

Vereinfache

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 : 7 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 8 = - 7

= - 7

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 7 = - 1 7

= - 1 7

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 7 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7 i}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 7 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 7 i}{2}

Schreibe

\frac{1 + 7 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} + \frac{7}{2} i

\frac{1 + 7 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 7 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i

u = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 7 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 7 i}{2}

Schreibe

\frac{1 - 7 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} - \frac{7}{2} i

\frac{1 - 7 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 7 i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{7}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Die Lösungen sind

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

1 + \frac{2}{u} + u^{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = - 1, tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

tan (x) = - 1, tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

tan (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

tan (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2} :

Keine Lösung

tan (x) = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2} :

Keine Lösung

tan (x) = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{4} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)+sin(x/2)=0

sin (x) + sin (\frac{x}{2}) = 0

4sin^2(x)+2cos^2(x)=3

4 sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = 3

cos^2(θ)-3sin(2θ)+sin^2(θ)+2sin^2(2θ)=0

cos^{2} (θ) - 3 sin (2 θ) + sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (2 θ) = 0

5cos(x)-10sin(x)cos(x)=0

5 cos (x) - 10 sin (x) cos (x) = 0

sin(2x+4)=cos(46)

sin (2 x + 4) = cos (4 6^{\circ})