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Popular Trigonometria >

2cos(θ)-1=sec(θ)

Solução

2 cos (θ) - 1 = sec (θ)

Solução

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Graus

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 cos (θ) - 1 = sec (θ)

Subtrair

sec (θ)

de ambos os lados

2 cos (θ) - 1 - sec (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 - sec (θ) + 2 cos (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 1 - sec (θ) + 2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )} = \frac{2}{sec ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ( θ )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ( θ )}

= - 1 - sec (θ) + \frac{2}{sec ( θ )}

- 1 + \frac{2}{sec ( θ )} - sec (θ) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + \frac{2}{sec ( θ )} - sec (θ) = 0

Sea:

sec (θ) = u

- 1 + \frac{2}{u} - u = 0

- 1 + \frac{2}{u} - u = 0 : u = - 2, u = 1

- 1 + \frac{2}{u} - u = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 1 + \frac{2}{u} - u = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 1 \cdot u + \frac{2}{u} u - uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 1 \cdot u + \frac{2}{u} u - uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= - u

Simplificar

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 2

Simplificar

- uu : - u^{2}

- uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

- u + 2 - u^{2} = 0

- u + 2 - u^{2} = 0

- u + 2 - u^{2} = 0

Resolver

- u + 2 - u^{2} = 0 : u = - 2, u = 1

- u + 2 - u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} - u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 \cdot 1}

Somar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 \cdot 1}

Subtrair:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 2, u = 1

u = - 2, u = 1

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

- 1 + \frac{2}{u} - u

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = - 2, u = 1

Substituir na equação

u = sec (θ)

sec (θ) = - 2, sec (θ) = 1

sec (θ) = - 2, sec (θ) = 1

sec (θ) = - 2 : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = - 2

Soluções gerais para

sec (θ) = - 2

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = 1 : θ = 2 πn

sec (θ) = 1

Soluções gerais para

sec (θ) = 1

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

3cos(x)-6sin(x)cos(x)=0

3 cos (x) - 6 sin (x) cos (x) = 0

sin(30x)=-0.6

sin (30 x) = - 0.6

sec^2(x)-2tan(x)-4=0

sec^{2} (x) - 2 tan (x) - 4 = 0

cos(40-x)=cos(x)

cos (4 0^{\circ} - x) = cos (x)

cos(x)-1=sqrt(3)sin(x)

cos (x) - 1 = 3 sin (x)