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受欢迎的三角函数 >

cos^2(θ)+2sin(θ)+1=0

解答

cos^{2} (θ) + 2 sin (θ) + 1 = 0

解答

θ = - 0.82132 \dots + 2 πn, θ = π + 0.82132 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = - 47.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 227.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

cos^{2} (θ) + 2 sin (θ) + 1 = 0

使用三角恒等式改写

1 + cos^{2} (θ) + 2 sin (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + 1 - sin^{2} (θ) + 2 sin (θ)

化简

= 2 sin (θ) - sin^{2} (θ) + 2

2 - sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) = 0

用替代法求解

2 - sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) = 0

令

: sin (θ) = u

2 - u^{2} + 2 u = 0

2 - u^{2} + 2 u = 0 : u = 1 - 3, u = 1 + 3

2 - u^{2} + 2 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + 2 u + 2 = 0

使用求根公式求解

- u^{2} + 2 u + 2 = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 1, b = 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

2^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 23

2^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

使用法则

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

数字相乘:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

数字相加:

4 + 8 = 12

= 12

12

质因数分解:

2^{2} \cdot 3

12

12

除以

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

使用根式运算法则:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 ( - 1 )}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 1 )} : 1 - 3

\frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 1 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 3}{- 2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 3}{- 2}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 3}{2}

消掉

\frac{- 2 + 2 3}{2} : 3 - 1

\frac{- 2 + 2 3}{2}

分解

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

改写为

= - 2 \cdot 1 + 23

因式分解出通项

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 3

= - (3 - 1)

打开括号

= - (- 1) - (3)

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= 1 - 3

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 1 )} : 1 + 3

\frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 1 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 3}{- 2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 3}{- 2}

使用分式法则:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 23 = - (2 + 23)

= \frac{2 + 2 3}{2}

分解

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

改写为

= 2 \cdot 1 + 23

因式分解出通项

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 3

二次方程组的解是:

u = 1 - 3, u = 1 + 3

u = sin (θ)

代回

sin (θ) = 1 - 3, sin (θ) = 1 + 3

sin (θ) = 1 - 3, sin (θ) = 1 + 3

sin (θ) = 1 - 3 : θ = arcsin (1 - 3) + 2 πn, θ = π + arcsin (- 1 + 3) + 2 πn

sin (θ) = 1 - 3

使用反三角函数性质

sin (θ) = 1 - 3

sin (θ) = 1 - 3

的通解

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (1 - 3) + 2 πn, θ = π + arcsin (- 1 + 3) + 2 πn

θ = arcsin (1 - 3) + 2 πn, θ = π + arcsin (- 1 + 3) + 2 πn

sin (θ) = 1 + 3 :

无解

sin (θ) = 1 + 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

无解

合并所有解

θ = arcsin (1 - 3) + 2 πn, θ = π + arcsin (- 1 + 3) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = - 0.82132 \dots + 2 πn, θ = π + 0.82132 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

arcsec(x)=arcsec(2)

arcsec (x) = arcsec (2)

tan^2(x)+(sqrt(3)-1)tan(x)-sqrt(3)=0

tan^{2} (x) + (3 - 1) tan (x) - 3 = 0

2 sec (x) - 5 = 0

cos (x) = 0.84

cos (x + \frac{π}{4}) = 1