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Populaire Trigonométrie >

cos(2x)+sqrt(3)cos(x)=2

Solution

cos (2 x) + 3 cos (x) = 2

Solution

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Degrés

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos (2 x) + 3 cos (x) = 2

Soustraire

2

des deux côtés

cos (2 x) + 3 cos (x) - 2 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 2 + cos (2 x) + cos (x) 3

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 3 cos (x)

Simplifier

- 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 3

- 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 3 cos (x)

Grouper comme termes

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 2 - 1

Soustraire les nombres :

- 2 - 1 = - 3

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 3

= 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 3

- 3 + 2 cos^{2} (x) + cos (x) 3 = 0

Résoudre par substitution

- 3 + 2 cos^{2} (x) + cos (x) 3 = 0

Soit :

cos (x) = u

- 3 + 2 u^{2} + u 3 = 0

- 3 + 2 u^{2} + u 3 = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - 3

- 3 + 2 u^{2} + u 3 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u - 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} + 3 u - 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = 3, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm ( 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm ( 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

(3)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3) = 33

(3)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

4 \cdot 2 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 24

= 3 + 24

Additionner les nombres :

3 + 24 = 27

= 27

Factorisation première de

27 : 3^{3}

27

27

divisée par

327 = 9 \cdot 3

= 3 \cdot 9

9

divisée par

39 = 3 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 3

3

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 3 \cdot 3 \cdot 3

= 3^{3}

= 3^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{2} \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 3 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 33

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 3}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 3 + 3 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 3 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 3 3}{2 \cdot 2} : \frac{3}{2}

\frac{- 3 + 3 3}{2 \cdot 2}

Additionner les éléments similaires :

- 3 + 33 = 23

= \frac{2 3}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 3}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3}{2}

u = \frac{- 3 - 3 3}{2 \cdot 2} : - 3

\frac{- 3 - 3 3}{2 \cdot 2}

Additionner les éléments similaires :

- 3 - 33 = - 43

= \frac{- 4 3}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4 3}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 3}{4}

Diviser les nombres :

\frac{4}{4} = 1

= - 3

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{3}{2}, u = - 3

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - 3

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - 3

cos (x) = \frac{3}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{3}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

cos (x) = - 3 :

Aucune solution

cos (x) = - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

6sin(x)+1=0

6 sin (x) + 1 = 0

pi+3arccos(x+1)=0

π + 3 arccos (x + 1) = 0

solvefor x,sin(2x)-sin(x)=0

so l v e f or x, sin (2 x) - sin (x) = 0

cot^2(θ)-3csc(θ)+3=0

cot^{2} (θ) - 3 csc (θ) + 3 = 0

solvefor x,arctan(x)+arctan(y)= pi/2

so l v e f or x, arctan (x) + arctan (y) = \frac{π}{2}