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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)-sin(x)= 2/3

Lösung

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

Lösung

x = π + 1.27628 \dots + 2 πn, x = 0.29451 \dots + 2 πn

Grad

x = 253.12550 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16.87449 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) = \frac{2}{3} + sin (x)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (x) = (\frac{2}{3} + sin (x))^{2}

Subtrahiere

(\frac{2}{3} + sin (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - \frac{4}{9} - \frac{4}{3} sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Vereinfache

cos^{2} (x) - \frac{4}{9} - \frac{4}{3} sin (x) - sin^{2} (x) : \frac{9 cos ^{2} ( x ) - 4 - 12 sin ( x ) - 9 sin ^{2} ( x )}{9}

cos^{2} (x) - \frac{4}{9} - \frac{4}{3} sin (x) - sin^{2} (x)

Multipliziere

\frac{4}{3} sin (x) : \frac{4 sin ( x )}{3}

\frac{4}{3} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 sin ( x )}{3}

= cos^{2} (x) - \frac{4}{9} - \frac{4 sin ( x )}{3} - sin^{2} (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x )}{1}, sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{1} - \frac{4}{9} - \frac{4 sin ( x )}{3} - \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, 9, 3, 1 : 9

1, 9, 3, 1

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

1

Primfaktorzerlegung von

9 : 3 \cdot 3

9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 3 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Primfaktorzerlegung von

1

Berechne eine Zahl, die aus Faktoren besteht, welche in mindestens einem der folgenden Elemente auftaucht:

1, 9, 3, 1

= 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 3 = 9

= 9

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

9

Für

\frac{cos ^{2} ( x )}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

9

\frac{cos ^{2} ( x )}{1} = \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 9}{1 \cdot 9} = \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 9}{9}

Für

\frac{4 sin ( x )}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{4 sin ( x )}{3} = \frac{4 sin ( x ) \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{12 sin ( x )}{9}

Für

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

9

\frac{sin ^{2} ( x )}{1} = \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 9}{1 \cdot 9} = \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 9}{9}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 9}{9} - \frac{4}{9} - \frac{12 sin ( x )}{9} - \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 9}{9}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 9 - 4 - 12 sin ( x ) - sin ^{2} ( x ) \cdot 9}{9}

\frac{9 cos ^{2} ( x ) - 4 - 12 sin ( x ) - 9 sin ^{2} ( x )}{9} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

9 cos^{2} (x) - 4 - 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - 12 sin (x) + 9 cos^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 4 - 12 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x) : - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

- 4 - 12 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere aus

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 4 - 12 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) : - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

- 4 - 12 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 9 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 18 sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 9 - 18 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 12 sin (x) - 18 sin^{2} (x) - 4 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 9 = 5

= - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

= - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

= - 18 sin^{2} (x) - 12 sin (x) + 5

5 - 12 sin (x) - 18 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

5 - 12 sin (x) - 18 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

5 - 12 u - 18 u^{2} = 0

5 - 12 u - 18 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 + 14}{6}, u = \frac{14 - 2}{6}

5 - 12 u - 18 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 18 u^{2} - 12 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 18 u^{2} - 12 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 18, b = - 12, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 ( - 18 ) \cdot 5}{2 ( - 18 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 ( - 18 ) \cdot 5}{2 ( - 18 )}

(- 12)^{2} - 4 (- 18) \cdot 5 = 614

(- 12)^{2} - 4 (- 18) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 12)^{2} + 4 \cdot 18 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} + 4 \cdot 18 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 18 \cdot 5 = 360

= 1 2^{2} + 360

1 2^{2} = 144

= 144 + 360

Addiere die Zahlen:

144 + 360 = 504

= 504

Primfaktorzerlegung von

504 : 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

504

504

ist durch

2504 = 252 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 252

252

ist durch

2252 = 126 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 126

126

ist durch

2126 = 63 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 63

63

ist durch

363 = 21 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 7

Fasse zusammen

= 614

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 6 14}{2 ( - 18 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 6 14}{2 ( - 18 )}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 6 14}{2 ( - 18 )}

u = \frac{- ( - 12 ) + 6 14}{2 ( - 18 )} : - \frac{2 + 14}{6}

\frac{- ( - 12 ) + 6 14}{2 ( - 18 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{12 + 6 14}{- 2 \cdot 18}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 18 = 36

= \frac{12 + 6 14}{- 36}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12 + 6 14}{36}

Streiche

\frac{12 + 6 14}{36} : \frac{2 + 14}{6}

\frac{12 + 6 14}{36}

Faktorisiere

12 + 614 : 6 (2 + 14)

12 + 614

Schreibe um

= 6 \cdot 2 + 614

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (2 + 14)

= \frac{6 ( 2 + 14 )}{36}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{2 + 14}{6}

= - \frac{2 + 14}{6}

u = \frac{- ( - 12 ) - 6 14}{2 ( - 18 )} : \frac{14 - 2}{6}

\frac{- ( - 12 ) - 6 14}{2 ( - 18 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{12 - 6 14}{- 2 \cdot 18}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 18 = 36

= \frac{12 - 6 14}{- 36}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

12 - 614 = - (614 - 12)

= \frac{6 14 - 12}{36}

Faktorisiere

614 - 12 : 6 (14 - 2)

614 - 12

Schreibe um

= 614 - 6 \cdot 2

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (14 - 2)

= \frac{6 ( 14 - 2 )}{36}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{14 - 2}{6}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 + 14}{6}, u = \frac{14 - 2}{6}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}, sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}, sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6} : x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{2 + 14}{6}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

sin (x) = \frac{14 - 2}{6} : x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{14 - 2}{6}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

ein, um zu lösen

cos (arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1) - sin (arcsin (- \frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1) = \frac{2}{3}

Fasse zusammen

1.24721 \dots = 0.66666 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

ein, um zu lösen

cos (π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1) - sin (π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 π 1) = \frac{2}{3}

Fasse zusammen

0.66666 \dots = 0.66666 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

ein, um zu lösen

cos (arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1) - sin (arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1) = \frac{2}{3}

Fasse zusammen

0.66666 \dots = 0.66666 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

ein, um zu lösen

cos (π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1) - sin (π - arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 π 1) = \frac{2}{3}

Fasse zusammen

- 1.24721 \dots = 0.66666 \dots

\Rightarrow Falsch

x = π + arcsin (\frac{2 + 14}{6}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{14 - 2}{6}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 1.27628 \dots + 2 πn, x = 0.29451 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)= 4/2

tan (x) = \frac{4}{2}

arctan(x+1/3)+arctan(x-1/3)=arctan(2)

arctan (x + \frac{1}{3}) + arctan (x - \frac{1}{3}) = arctan (2)

sin(θ)=0,64

sin (θ) = 0, 64

cos(3x)=cos(2x)

cos (3 x) = cos (2 x)

2cos(x)cos^3(x)+cos^2(x)-sin^2(x)=cos(x)

2 cos (x) cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (x)