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Popolare Trigonometria >

cos(2x)+sec(2x)=11

Soluzione

cos (2 x) + sec (2 x) = 11

Soluzione

x = \frac{1.47899 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{1.47899 \dots}{2} + πn

Gradi

x = 42.37006 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 137.62993 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (2 x) + sec (2 x) = 11

Sottrarre

11

da entrambi i lati

cos (2 x) + sec (2 x) - 11 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 11 + cos (2 x) + sec (2 x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x)

- 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x) = 0

Sia:

sec (2 x) = u

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0 : u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 11 u + \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Semplificare

- 11 u + \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Semplificare

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 1

Semplificare

uu : u^{2}

uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Semplificare

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

Risolvi

- 11 u + 1 + u^{2} = 0 : u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 11 u + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

u^{2} - 11 u + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 11, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm ( - 11 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm ( - 11 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 313

(- 11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 11)^{2} = 1 1^{2}

= 1 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 1^{2} - 4

1 1^{2} = 121

= 121 - 4

Sottrai i numeri:

121 - 4 = 117

= 117

Fattorizzazione prima di

117 : 3^{2} \cdot 13

117

117

diviso per

3117 = 39 \cdot 3

= 3 \cdot 39

39

diviso per

339 = 13 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 13

3, 13

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 3 \cdot 3 \cdot 13

= 3^{2} \cdot 13

= 3^{2} \cdot 13

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 13 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 313

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm 3 13}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1} : \frac{11 + 3 13}{2}

\frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{11 + 3 13}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{11 + 3 13}{2}

u = \frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1} : \frac{11 - 3 13}{2}

\frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{11 - 3 13}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{11 - 3 13}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- 11 + \frac{1}{u} + u

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

Sostituire indietro

u = sec (2 x)

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}, sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}, sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2} : x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

Soluzioni generali per

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn, 2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn, 2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Risolvi

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn : x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

Risolvi

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn : x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2} - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2} :

Nessuna soluzione

sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = \frac{1.47899 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{1.47899 \dots}{2} + πn

Grafico

Esempi popolari

5tan(x)-4=0

5 tan (x) - 4 = 0

3tan(x)sin(x)-2tan(x)=0

3 tan (x) sin (x) - 2 tan (x) = 0

csc^2(x)+3csc(x)-4=0

csc^{2} (x) + 3 csc (x) - 4 = 0

cos^2(φ)=sin^2(φ)

cos^{2} (φ) = sin^{2} (φ)

sin^2(x)-2cos^2(x)=0

sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) = 0