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Beliebt Trigonometrie >

3cosh(x)+5sinh(x)=-3

Lösung

3 cosh (x) + 5 sinh (x) = - 3

Lösung

x = - 2 ln (2)

Grad

x = - 79.42881 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

3 cosh (x) + 5 sinh (x) = - 3

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 cosh (x) + 5 sinh (x) = - 3

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

3 cosh (x) + 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = - 3

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

3 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = - 3

3 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = - 3

3 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = - 3 : x = - 2 ln (2)

3 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = - 3

Wende Exponentenregel an

3 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = - 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

3 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} + 5 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = - 3

3 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} + 5 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = - 3

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

3 \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2} + 5 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} = - 3

Löse

3 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 5 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = - 3 : u = \frac{1}{4}, u = - 1

3 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 5 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = - 3

Fasse zusammen

\frac{3 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} + \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = - 3

Multipliziere beide Seiten mit

2 u

\frac{3 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} + \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = - 3

Multipliziere beide Seiten mit

2 u

\frac{3 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u + \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = - 3 \cdot 2 u

Vereinfache

\frac{3 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u + \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = - 3 \cdot 2 u

Vereinfache

\frac{3 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u : 3 (u^{2} + 1)

\frac{3 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 ( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 ( u ^{2} + 1 ) u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 3 (u^{2} + 1)

Vereinfache

\frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u : 5 (u^{2} - 1)

\frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 ( u ^{2} - 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 ( u ^{2} - 1 ) u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 5 (u^{2} - 1)

Vereinfache

- 3 \cdot 2 u : - 6 u

- 3 \cdot 2 u

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= - 6 u

3 (u^{2} + 1) + 5 (u^{2} - 1) = - 6 u

3 (u^{2} + 1) + 5 (u^{2} - 1) = - 6 u

3 (u^{2} + 1) + 5 (u^{2} - 1) = - 6 u

Löse

3 (u^{2} + 1) + 5 (u^{2} - 1) = - 6 u : u = \frac{1}{4}, u = - 1

3 (u^{2} + 1) + 5 (u^{2} - 1) = - 6 u

Schreibe

3 (u^{2} + 1) + 5 (u^{2} - 1)

um:

8 u^{2} - 2

3 (u^{2} + 1) + 5 (u^{2} - 1)

Multipliziere aus

3 (u^{2} + 1) : 3 u^{2} + 3

3 (u^{2} + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u^{2}, c = 1

= 3 u^{2} + 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{2} + 3

= 3 u^{2} + 3 + 5 (u^{2} - 1)

Multipliziere aus

5 (u^{2} - 1) : 5 u^{2} - 5

5 (u^{2} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = u^{2}, c = 1

= 5 u^{2} - 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 u^{2} - 5

= 3 u^{2} + 3 + 5 u^{2} - 5

Vereinfache

3 u^{2} + 3 + 5 u^{2} - 5 : 8 u^{2} - 2

3 u^{2} + 3 + 5 u^{2} - 5

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 u^{2} + 5 u^{2} + 3 - 5

Addiere gleiche Elemente:

3 u^{2} + 5 u^{2} = 8 u^{2}

= 8 u^{2} + 3 - 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

3 - 5 = - 2

= 8 u^{2} - 2

= 8 u^{2} - 2

8 u^{2} - 2 = - 6 u

Verschiebe

6 u

auf die linke Seite

8 u^{2} - 2 = - 6 u

Füge

6 u

zu beiden Seiten hinzu

8 u^{2} - 2 + 6 u = - 6 u + 6 u

Vereinfache

8 u^{2} - 2 + 6 u = 0

8 u^{2} - 2 + 6 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 6 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} + 6 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = 6, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 2 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 2 )}{2 \cdot 8}

6^{2} - 4 \cdot 8 (- 2) = 10

6^{2} - 4 \cdot 8 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 2 = 64

= 6^{2} + 64

6^{2} = 36

= 36 + 64

Addiere die Zahlen:

36 + 64 = 100

= 100

Faktorisiere die Zahl:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 10}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 10}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 6 - 10}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 6 + 10}{2 \cdot 8} : \frac{1}{4}

\frac{- 6 + 10}{2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 6 + 10 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{4}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{4}

u = \frac{- 6 - 10}{2 \cdot 8} : - 1

\frac{- 6 - 10}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 6 - 10 = - 16

= \frac{- 16}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 16}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{16}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4}, u = - 1

u = \frac{1}{4}, u = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

3 \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 5 \frac{u - u ^{- 1}}{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{1}{4}, u = - 1

u = \frac{1}{4}, u = - 1

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = \frac{1}{4} : x = - 2 ln (2)

e^{x} = \frac{1}{4}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{1}{4}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{1}{4})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{1}{4})

Vereinfache

ln (\frac{1}{4}) : - 2 ln (2)

ln (\frac{1}{4})

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (\frac{1}{x}) = - lo g_{a} (x)

= - ln (4)

Schreibe

4

um in Potenz-Stammform:

4 = 2^{2}

= - ln (2^{2})

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

ln (2^{2}) = 2 ln (2)

= - 2 ln (2)

x = - 2 ln (2)

x = - 2 ln (2)

Löse

e^{x} = - 1 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = - 2 ln (2)

x = - 2 ln (2)

Graph

Beliebte Beispiele

6cos^2(x)-5cos(x)+1=0

6 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 = 0

6cos(x)=5

6 cos (x) = 5

6cos(2x)=6cos^2(x)-5

6 cos (2 x) = 6 cos^{2} (x) - 5

(-4cos(x)-6sin(x))^2-20sin^2(x)=16

(- 4 cos (x) - 6 sin (x))^{2} - 20 sin^{2} (x) = 16

sin(u)= 5/13

sin (u) = \frac{5}{13}