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2sin^2(u)=1+sin(u)

Solução

2 sin^{2} (u) = 1 + sin (u)

Solução

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graus

u = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, u = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, u = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 sin^{2} (u) = 1 + sin (u)

Usando o método de substituição

2 sin^{2} (u) = 1 + sin (u)

Sea:

sin (u) = v

2 v^{2} = 1 + v

2 v^{2} = 1 + v : v = 1, v = - \frac{1}{2}

2 v^{2} = 1 + v

Mova

v

para o lado esquerdo

2 v^{2} = 1 + v

Subtrair

v

de ambos os lados

2 v^{2} - v = 1 + v - v

Simplificar

2 v^{2} - v = 1

2 v^{2} - v = 1

Mova

1

para o lado esquerdo

2 v^{2} - v = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

2 v^{2} - v - 1 = 1 - 1

Simplificar

2 v^{2} - v - 1 = 0

2 v^{2} - v - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 v^{2} - v - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 1, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 + 3}{2 \cdot 2}

Somar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrair:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = 1, v = - \frac{1}{2}

Substituir na equação

v = sin (u)

sin (u) = 1, sin (u) = - \frac{1}{2}

sin (u) = 1, sin (u) = - \frac{1}{2}

sin (u) = 1 : u = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (u) = 1

Soluções gerais para

sin (u) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (u) = - \frac{1}{2} : u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (u) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (u) = - \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda as soluções

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(x)= 9/17

-6sin(c)+0=sin(c)-3

tan(x)= 11/12

tan(x)cot(x)-sqrt(3)tan(x)=0

cos(θ)=0.139