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Beliebt Trigonometrie >

6sin(x)-5cos(x)=7

Lösung

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

Lösung

x = 2.72507 \dots + 2 πn, x = 1.80599 \dots + 2 πn

Grad

x = 156.13507 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 103.47606 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

Füge

5 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

6 sin (x) = 7 + 5 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(6 sin (x))^{2} = (7 + 5 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(7 + 5 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

36 sin^{2} (x) - 49 - 70 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) - 70 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x)

Vereinfache

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x) : - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x)

Multipliziere aus

36 (1 - cos^{2} (x)) : 36 - 36 cos^{2} (x)

36 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 cos^{2} (x)

= - 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x)

Vereinfache

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x) : - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 25 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 49 + 36

Addiere gleiche Elemente:

- 25 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 61 cos^{2} (x)

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 49 + 36

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 49 + 36 = - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 13 - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 13 - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0 : u = - \frac{35 + 12 3}{61}, u = - \frac{35 - 12 3}{61}

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 61 u^{2} - 70 u - 13 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 61 u^{2} - 70 u - 13 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 61, b = - 70, c = - 13

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm ( - 70 ) ^{2} - 4 ( - 61 ) ( - 13 )}{2 ( - 61 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm ( - 70 ) ^{2} - 4 ( - 61 ) ( - 13 )}{2 ( - 61 )}

(- 70)^{2} - 4 (- 61) (- 13) = 243

(- 70)^{2} - 4 (- 61) (- 13)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 70)^{2} - 4 \cdot 61 \cdot 13

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 70)^{2} = 7 0^{2}

= 7 0^{2} - 4 \cdot 61 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 61 \cdot 13 = 3172

= 7 0^{2} - 3172

7 0^{2} = 4900

= 4900 - 3172

Subtrahiere die Zahlen:

4900 - 3172 = 1728

= 1728

Primfaktorzerlegung von

1728 : 2^{6} \cdot 3^{3}

1728

1728

ist durch

21728 = 864 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 864

864

ist durch

2864 = 432 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 432

432

ist durch

2432 = 216 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 216

216

ist durch

2216 = 108 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 108

108

ist durch

2108 = 54 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54

54

ist durch

254 = 27 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{6} \cdot 3^{3}

= 2^{6} \cdot 3^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{6} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 3 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 33

Fasse zusammen

= 243

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm 24 3}{2 ( - 61 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )}, u_{2} = \frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )}

u = \frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )} : - \frac{35 + 12 3}{61}

\frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{70 + 24 3}{- 2 \cdot 61}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 61 = 122

= \frac{70 + 24 3}{- 122}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{70 + 24 3}{122}

Streiche

\frac{70 + 24 3}{122} : \frac{35 + 12 3}{61}

\frac{70 + 24 3}{122}

Faktorisiere

70 + 243 : 2 (35 + 123)

70 + 243

Schreibe um

= 2 \cdot 35 + 2 \cdot 123

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (35 + 123)

= \frac{2 ( 35 + 12 3 )}{122}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{35 + 12 3}{61}

= - \frac{35 + 12 3}{61}

u = \frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )} : - \frac{35 - 12 3}{61}

\frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{70 - 24 3}{- 2 \cdot 61}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 61 = 122

= \frac{70 - 24 3}{- 122}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{70 - 24 3}{122}

Streiche

\frac{70 - 24 3}{122} : \frac{35 - 12 3}{61}

\frac{70 - 24 3}{122}

Faktorisiere

70 - 243 : 2 (35 - 123)

70 - 243

Schreibe um

= 2 \cdot 35 - 2 \cdot 123

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (35 - 123)

= \frac{2 ( 35 - 12 3 )}{122}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{35 - 12 3}{61}

= - \frac{35 - 12 3}{61}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{35 + 12 3}{61}, u = - \frac{35 - 12 3}{61}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}, cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}, cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61} : x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61} : x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

ein, um zu lösen

6 sin (arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

Fasse zusammen

7 = 7

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

ein, um zu lösen

6 sin (- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

Fasse zusammen

2.14501 \dots = 7

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

ein, um zu lösen

6 sin (arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

Fasse zusammen

7 = 7

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

ein, um zu lösen

6 sin (- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

Fasse zusammen

- 4.66960 \dots = 7

\Rightarrow Falsch

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.72507 \dots + 2 πn, x = 1.80599 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3sin^2(x)-7sin(x)=6

3 sin^{2} (x) - 7 sin (x) = 6

2cos^2(x)-sin^2(x)+1=0

2 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 1 = 0

-6sin(t)+6cos(2t)=0

- 6 sin (t) + 6 cos (2 t) = 0

cos^2(x)=4

cos^{2} (x) = 4

2*sin(x)=tan(x)

2 \cdot sin (x) = tan (x)