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Beliebt Trigonometrie >

9sin(x)+6cos(x)=10

Lösung

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Lösung

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

Grad

x = 78.71680 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33.90306 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Subtrahiere

6 cos (x)

von beiden Seiten

9 sin (x) = 10 - 6 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(9 sin (x))^{2} = (10 - 6 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(10 - 6 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

81 sin^{2} (x) - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x)) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

81 (1 - cos^{2} (x)) : 81 - 81 cos^{2} (x)

81 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 81, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 81 \cdot 1 - 81 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

81 \cdot 1 = 81

= 81 - 81 cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) - 100 + 81

Addiere gleiche Elemente:

- 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) = - 117 cos^{2} (x)

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 100 + 81

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 100 + 81 = - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0 : u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 117, b = 120, c = - 19

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19) = 1817

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 12 0^{2} - 4 \cdot 117 \cdot 19

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 117 \cdot 19 = 8892

= 12 0^{2} - 8892

12 0^{2} = 14400

= 14400 - 8892

Subtrahiere die Zahlen:

14400 - 8892 = 5508

= 5508

Primfaktorzerlegung von

5508 : 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

5508

5508

ist durch

25508 = 2754 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2754

2754

ist durch

22754 = 1377 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 1377

1377

ist durch

31377 = 459 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 459

459

ist durch

3459 = 153 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 153

153

ist durch

3153 = 51 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 51

51

ist durch

351 = 17 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

2, 3, 17

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 17

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 17 2^{2} 3^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217 3^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 217

Fasse zusammen

= 1817

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 18 17}{2 ( - 117 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}, u_{2} = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

u = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 - 3 17}{39}

\frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 120 + 18 17}{- 2 \cdot 117}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 + 18 17}{- 234}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 + 1817 = - (120 - 1817)

= \frac{120 - 18 17}{234}

Faktorisiere

120 - 1817 : 6 (20 - 317)

120 - 1817

Schreibe um

= 6 \cdot 20 - 6 \cdot 317

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (20 - 317)

= \frac{6 ( 20 - 3 17 )}{234}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{20 - 3 17}{39}

u = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 + 3 17}{39}

\frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 120 - 18 17}{- 2 \cdot 117}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 - 18 17}{- 234}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 - 1817 = - (120 + 1817)

= \frac{120 + 18 17}{234}

Faktorisiere

120 + 1817 : 6 (20 + 317)

120 + 1817

Schreibe um

= 6 \cdot 20 + 6 \cdot 317

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (20 + 317)

= \frac{6 ( 20 + 3 17 )}{234}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{20 + 3 17}{39}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

ein, um zu lösen

9 sin (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

10 = 10

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

ein, um zu lösen

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

- 7.65209 \dots = 10

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

ein, um zu lösen

9 sin (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

10 = 10

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

ein, um zu lösen

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

- 0.04021 \dots = 10

\Rightarrow Falsch

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)= 4/21

cos (x) = \frac{4}{21}

-4csc(x)=-csc^2(x)-4

- 4 csc (x) = - csc^{2} (x) - 4

csc(7x+3)=sqrt(2)

csc (7 x + 3) = 2

2sin^4(x)-2cos^4(x)=1

2 sin^{4} (x) - 2 cos^{4} (x) = 1

18sin(x)=18cos(x)

18 sin (x) = 18 cos (x)