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Beliebt Trigonometrie >

5cos^2(θ)+3sqrt(2)sin(θ)-11/2 =0

Lösung

5 cos^{2} (θ) + 32 sin (θ) - \frac{11}{2} = 0

Lösung

θ = 0.14189 \dots + 2 πn, θ = π - 0.14189 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grad

θ = 8.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 171.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos^{2} (θ) + 32 sin (θ) - \frac{11}{2} = 0

Vereinfache

5 cos^{2} (θ) + 32 sin (θ) - \frac{11}{2} : \frac{10 cos ^{2} ( θ ) + 6 2 sin ( θ ) - 11}{2}

5 cos^{2} (θ) + 32 sin (θ) - \frac{11}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

5 cos^{2} (θ) = \frac{5 cos ^{2} ( θ ) 2}{2}, 32 sin (θ) = \frac{3 \cdot 2 sin ( θ ) 2}{2}

= \frac{5 cos ^{2} ( θ ) \cdot 2}{2} + \frac{3 2 sin ( θ ) \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 cos ^{2} ( θ ) \cdot 2 + 3 2 sin ( θ ) \cdot 2 - 11}{2}

5 cos^{2} (θ) \cdot 2 + 32 sin (θ) \cdot 2 - 11 = 10 cos^{2} (θ) + 62 sin (θ) - 11

5 cos^{2} (θ) \cdot 2 + 32 sin (θ) \cdot 2 - 11

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= 10 cos^{2} (θ) + 3 \cdot 22 sin (θ) - 11

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 10 cos^{2} (θ) + 62 sin (θ) - 11

= \frac{10 cos ^{2} ( θ ) + 6 2 sin ( θ ) - 11}{2}

\frac{10 cos ^{2} ( θ ) + 6 2 sin ( θ ) - 11}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

10 cos^{2} (θ) + 62 sin (θ) - 11 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 11 + 10 cos^{2} (θ) + 6 sin (θ) 2

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 11 + 10 (1 - sin^{2} (θ)) + 6 sin (θ) 2

Vereinfache

- 11 + 10 (1 - sin^{2} (θ)) + 6 sin (θ) 2 : 62 sin (θ) - 10 sin^{2} (θ) - 1

- 11 + 10 (1 - sin^{2} (θ)) + 6 sin (θ) 2

= - 11 + 10 (1 - sin^{2} (θ)) + 62 sin (θ)

Multipliziere aus

10 (1 - sin^{2} (θ)) : 10 - 10 sin^{2} (θ)

10 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 10, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 10 \cdot 1 - 10 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

10 \cdot 1 = 10

= 10 - 10 sin^{2} (θ)

= - 11 + 10 - 10 sin^{2} (θ) + 6 sin (θ) 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 11 + 10 = - 1

= 62 sin (θ) - 10 sin^{2} (θ) - 1

= 62 sin (θ) - 10 sin^{2} (θ) - 1

- 1 - 10 sin^{2} (θ) + 6 sin (θ) 2 = 0

Löse mit Substitution

- 1 - 10 sin^{2} (θ) + 6 sin (θ) 2 = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 1 - 10 u^{2} + 6 u 2 = 0

- 1 - 10 u^{2} + 6 u 2 = 0 : u = \frac{2}{10}, u = \frac{2}{2}

- 1 - 10 u^{2} + 6 u 2 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} + 62 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 10 u^{2} + 62 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 10, b = 62, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 6 2 \pm ( 6 2 ) ^{2} - 4 ( - 10 ) ( - 1 )}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 2 \pm ( 6 2 ) ^{2} - 4 ( - 10 ) ( - 1 )}{2 ( - 10 )}

(62)^{2} - 4 (- 10) (- 1) = 42

(62)^{2} - 4 (- 10) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (62)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 1

(62)^{2} = 6^{2} \cdot 2

(62)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 6^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 6^{2} \cdot 2

4 \cdot 10 \cdot 1 = 40

4 \cdot 10 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 1 = 40

= 40

= 6^{2} \cdot 2 - 40

6^{2} \cdot 2 = 72

6^{2} \cdot 2

6^{2} = 36

= 36 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 2 = 72

= 72

= 72 - 40

Subtrahiere die Zahlen:

72 - 40 = 32

= 32

Primfaktorzerlegung von

32 : 2^{5}

32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Fasse zusammen

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 6 2 \pm 4 2}{2 ( - 10 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 2 + 4 2}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 6 2 - 4 2}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 6 2 + 4 2}{2 ( - 10 )} : \frac{2}{10}

\frac{- 6 2 + 4 2}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 2 + 4 2}{- 2 \cdot 10}

Addiere gleiche Elemente:

- 62 + 42 = - 22

= \frac{- 2 2}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 2 2}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 2}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2}{10}

u = \frac{- 6 2 - 4 2}{2 ( - 10 )} : \frac{2}{2}

\frac{- 6 2 - 4 2}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 2 - 4 2}{- 2 \cdot 10}

Addiere gleiche Elemente:

- 62 - 42 = - 102

= \frac{- 10 2}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 10 2}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10 2}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{2}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2}{10}, u = \frac{2}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{2}{10}, sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{10}, sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{10} : θ = arcsin (\frac{2}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{2}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{2}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{2}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{2}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{2}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{2}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{2}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{10}) + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.14189 \dots + 2 πn, θ = π - 0.14189 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)-5cos(x)+2=0

cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 2 = 0

2sin^2(t)cos(t)=0

2 sin^{2} (t) cos (t) = 0

5sin(x)-12cos(x)=13

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

6sin(θ)=1

6 sin (θ) = 1

2cos((3x-pi)/6)+1=0,0<x<2pi

2 cos (\frac{3 x - π}{6}) + 1 = 0, 0 < x < 2 π