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4cos(x)=sin^2(x)+1

Solução

4 cos (x) = sin^{2} (x) + 1

Solução

x = 1.10460 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.10460 \dots + 2 πn

Graus

x = 63.28904 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 296.71095 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

4 cos (x) = sin^{2} (x) + 1

Subtrair

sin^{2} (x) + 1

de ambos os lados

4 cos (x) - sin^{2} (x) - 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 - sin^{2} (x) + 4 cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

Simplificar

- 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) : cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

- 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= - 1 - 1 + cos^{2} (x) + 4 cos (x)

Subtrair:

- 1 - 1 = - 2

= cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

= cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

- 2 + cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

- 2 + cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 2 + u^{2} + 4 u = 0

- 2 + u^{2} + 4 u = 0 : u = - 2 + 6, u = - 2 - 6

- 2 + u^{2} + 4 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 4 u - 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} + 4 u - 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = 4, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 26

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 4^{2} + 8

4^{2} = 16

= 16 + 8

Somar:

16 + 8 = 24

= 24

Decomposição em fatores primos de

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

dividida por

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 2^{2} 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Simplificar

= 26

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 2 6}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1} : - 2 + 6

\frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 + 2 6}{2}

Fatorar

- 4 + 26 : 2 (- 2 + 6)

- 4 + 26

Reescrever como

= - 2 \cdot 2 + 26

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 2 + 6)

= \frac{2 ( - 2 + 6 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - 2 + 6

u = \frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1} : - 2 - 6

\frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 - 2 6}{2}

Fatorar

- 4 - 26 : - 2 (2 + 6)

- 4 - 26

Reescrever como

= - 2 \cdot 2 - 26

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (2 + 6)

= - \frac{2 ( 2 + 6 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - (2 + 6)

Inverter o sinal de

- (2 + 6) = - 2 - 6

= - 2 - 6

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 2 + 6, u = - 2 - 6

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - 2 + 6, cos (x) = - 2 - 6

cos (x) = - 2 + 6, cos (x) = - 2 - 6

cos (x) = - 2 + 6 : x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

cos (x) = - 2 + 6

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - 2 + 6

Soluções gerais para

cos (x) = - 2 + 6

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 6 :

Sem solução

cos (x) = - 2 - 6

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 1.10460 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.10460 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cot(A)= 24/7

(sin(74))/8 =(sin(a))/4

sin(x)=sin(x-pi/2)

tan(x)= pi/3

cos(x)=-0.58