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Popular Trigonometria >

tan^2(2x)-1=sec(2x)

Solução

tan^{2} (2 x) - 1 = sec (2 x)

Solução

x = \frac{π}{6} + πn, x = \frac{5 π}{6} + πn, x = \frac{π}{2} + πn

Graus

x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

tan^{2} (2 x) - 1 = sec (2 x)

Subtrair

sec (2 x)

de ambos os lados

tan^{2} (2 x) - 1 - sec (2 x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 - sec (2 x) + tan^{2} (2 x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= - 1 - sec (2 x) + sec^{2} (2 x) - 1

Simplificar

- 1 - sec (2 x) + sec^{2} (2 x) - 1 : sec^{2} (2 x) - sec (2 x) - 2

- 1 - sec (2 x) + sec^{2} (2 x) - 1

Agrupar termos semelhantes

= - sec (2 x) + sec^{2} (2 x) - 1 - 1

Subtrair:

- 1 - 1 = - 2

= sec^{2} (2 x) - sec (2 x) - 2

= sec^{2} (2 x) - sec (2 x) - 2

- 2 - sec (2 x) + sec^{2} (2 x) = 0

Usando o método de substituição

- 2 - sec (2 x) + sec^{2} (2 x) = 0

Sea:

sec (2 x) = u

- 2 - u + u^{2} = 0

- 2 - u + u^{2} = 0 : u = 2, u = - 1

- 2 - u + u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - u - 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} - u - 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = - 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1} : 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 + 3}{2 \cdot 1}

Somar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 - 3}{2 \cdot 1}

Subtrair:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= - 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 2, u = - 1

Substituir na equação

u = sec (2 x)

sec (2 x) = 2, sec (2 x) = - 1

sec (2 x) = 2, sec (2 x) = - 1

sec (2 x) = 2 : x = \frac{π}{6} + πn, x = \frac{5 π}{6} + πn

sec (2 x) = 2

Soluções gerais para

sec (2 x) = 2

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Resolver

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn : x = \frac{π}{6} + πn

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = \frac{π}{3} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{6} + πn

\frac{\frac{π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{3}}{2} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{3}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 2}

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{π}{6}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

Resolver

2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn : x = \frac{5 π}{6} + πn

2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{6} + πn

\frac{\frac{5 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{3}}{2} = \frac{5 π}{6}

\frac{\frac{5 π}{3}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{3 \cdot 2}

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{5 π}{6}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn, x = \frac{5 π}{6} + πn

sec (2 x) = - 1 : x = \frac{π}{2} + πn

sec (2 x) = - 1

Soluções gerais para

sec (2 x) = - 1

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

2 x = π + 2 πn

2 x = π + 2 πn

Resolver

2 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{2} + πn

2 x = π + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = π + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{6} + πn, x = \frac{5 π}{6} + πn, x = \frac{π}{2} + πn

Gráfico

Exemplos populares

-1.92=cos(x)

- 1.92 = cos (x)

5cot^2(x)+8cot(x)+3=0

5 cot^{2} (x) + 8 cot (x) + 3 = 0

sin(x)= 15/31

sin (x) = \frac{15}{31}

4cot(θ)-1=0

4 cot (θ) - 1 = 0

solvefor x,4cos^2(x)=5-4sin(x)

so l v e f or x, 4 cos^{2} (x) = 5 - 4 sin (x)