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Popolare Trigonometria >

cos(x)=sqrt((1-cos(x))/2)

Soluzione

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Soluzione

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gradi

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Risolvi per sostituzione

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Sia:

cos (x) = u

u = \frac{1 - u}{2}

u = \frac{1 - u}{2} : u = \frac{1}{2}

u = \frac{1 - u}{2}

Eleva entrambi i lati al quadrato:

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

u = \frac{1 - u}{2}

u^{2} = (\frac{1 - u}{2})^{2}

Espandere

(\frac{1 - u}{2})^{2} : \frac{1 - u}{2}

(\frac{1 - u}{2})^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1 - u}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1 - u}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= \frac{1 - u}{2}

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Risolvi

u^{2} = \frac{1 - u}{2} : u = \frac{1}{2}, u = - 1

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Moltiplica entrambi i lati per

2

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Moltiplica entrambi i lati per

2

u^{2} \cdot 2 = \frac{1 - u}{2} \cdot 2

Semplificare

2 u^{2} = 1 - u

2 u^{2} = 1 - u

Spostare

u

a sinistra dell'equazione

2 u^{2} = 1 - u

Aggiungi

u

ad entrambi i lati

2 u^{2} + u = 1 - u + u

Semplificare

2 u^{2} + u = 1

2 u^{2} + u = 1

Spostare

1

a sinistra dell'equazione

2 u^{2} + u = 1

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u^{2} + u - 1 = 1 - 1

Semplificare

2 u^{2} + u - 1 = 0

2 u^{2} + u - 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

2 u^{2} + u - 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 2, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 1)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Aggiungi i numeri:

1 + 8 = 9

= 9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 2}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Verificare le soluzioni:

u = \frac{1}{2}

Vero

, u = - 1

Falso

Verifica le soluzioni sostituendole in

u = \frac{1 - u}{2}

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserire in

u = \frac{1}{2} :

Vero

\frac{1}{2} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2}

\frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2} = \frac{1}{2}

\frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2}

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= \frac{1 - \frac{1}{2}}{2}

\frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}

\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}

Unisci

1 - \frac{1}{2} : \frac{1}{2}

1 - \frac{1}{2}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Sottrai i numeri:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{\frac{1}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Applicare la regola

1 = 1

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Vero

Inserire in

u = - 1 :

Falso

- 1 = \frac{1 - ( - 1 )}{2}

\frac{1 - ( - 1 )}{2} = 1

\frac{1 - ( - 1 )}{2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{1 + 1}{2}

\frac{1 + 1}{2} = 1

\frac{1 + 1}{2}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

- 1 = 1

Falso

La soluzione è

u = \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

7cos(4x)=6

-120=-90-arctan(0.1)+arctan(0.1x)

3tan(x)=0

2sin^2(x)-15sin(x)+7=0

solvefor x,cos(x)=(-3)/5