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Beliebt Trigonometrie >

196sin(θ)-49cos(θ)=160

Lösung

196 sin (θ) - 49 cos (θ) = 160

Lösung

θ = 2.47257 \dots + 2 πn, θ = 1.15897 \dots + 2 πn

Grad

θ = 141.66783 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 66.40464 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

196 sin (θ) - 49 cos (θ) = 160

Füge

49 cos (θ)

zu beiden Seiten hinzu

196 sin (θ) = 160 + 49 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(196 sin (θ))^{2} = (160 + 49 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(160 + 49 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

38416 sin^{2} (θ) - 25600 - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 25600 - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) + 38416 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 25600 - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) + 38416 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 25600 - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) + 38416 (1 - cos^{2} (θ)) : - 40817 cos^{2} (θ) - 15680 cos (θ) + 12816

- 25600 - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) + 38416 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

38416 (1 - cos^{2} (θ)) : 38416 - 38416 cos^{2} (θ)

38416 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 38416, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 38416 \cdot 1 - 38416 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

38416 \cdot 1 = 38416

= 38416 - 38416 cos^{2} (θ)

= - 25600 - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) + 38416 - 38416 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 25600 - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) + 38416 - 38416 cos^{2} (θ) : - 40817 cos^{2} (θ) - 15680 cos (θ) + 12816

- 25600 - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) + 38416 - 38416 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 15680 cos (θ) - 2401 cos^{2} (θ) - 38416 cos^{2} (θ) - 25600 + 38416

Addiere gleiche Elemente:

- 2401 cos^{2} (θ) - 38416 cos^{2} (θ) = - 40817 cos^{2} (θ)

= - 15680 cos (θ) - 40817 cos^{2} (θ) - 25600 + 38416

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 25600 + 38416 = 12816

= - 40817 cos^{2} (θ) - 15680 cos (θ) + 12816

= - 40817 cos^{2} (θ) - 15680 cos (θ) + 12816

= - 40817 cos^{2} (θ) - 15680 cos (θ) + 12816

12816 - 15680 cos (θ) - 40817 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

12816 - 15680 cos (θ) - 40817 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

12816 - 15680 u - 40817 u^{2} = 0

12816 - 15680 u - 40817 u^{2} = 0 : u = - \frac{15680 + 2338305088}{81634}, u = \frac{2338305088 - 15680}{81634}

12816 - 15680 u - 40817 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 40817 u^{2} - 15680 u + 12816 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 40817 u^{2} - 15680 u + 12816 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 40817, b = - 15680, c = 12816

u_{1, 2} = \frac{- ( - 15680 ) \pm ( - 15680 ) ^{2} - 4 ( - 40817 ) \cdot 12816}{2 ( - 40817 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 15680 ) \pm ( - 15680 ) ^{2} - 4 ( - 40817 ) \cdot 12816}{2 ( - 40817 )}

(- 15680)^{2} - 4 (- 40817) \cdot 12816 = 2338305088

(- 15680)^{2} - 4 (- 40817) \cdot 12816

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 15680)^{2} + 4 \cdot 40817 \cdot 12816

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 15680)^{2} = 1568 0^{2}

= 1568 0^{2} + 4 \cdot 40817 \cdot 12816

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 40817 \cdot 12816 = 2092442688

= 1568 0^{2} + 2092442688

1568 0^{2} = 245862400

= 245862400 + 2092442688

Addiere die Zahlen:

245862400 + 2092442688 = 2338305088

= 2338305088

u_{1, 2} = \frac{- ( - 15680 ) \pm 2338305088}{2 ( - 40817 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 15680 ) + 2338305088}{2 ( - 40817 )}, u_{2} = \frac{- ( - 15680 ) - 2338305088}{2 ( - 40817 )}

u = \frac{- ( - 15680 ) + 2338305088}{2 ( - 40817 )} : - \frac{15680 + 2338305088}{81634}

\frac{- ( - 15680 ) + 2338305088}{2 ( - 40817 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{15680 + 2338305088}{- 2 \cdot 40817}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 40817 = 81634

= \frac{15680 + 2338305088}{- 81634}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{15680 + 2338305088}{81634}

u = \frac{- ( - 15680 ) - 2338305088}{2 ( - 40817 )} : \frac{2338305088 - 15680}{81634}

\frac{- ( - 15680 ) - 2338305088}{2 ( - 40817 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{15680 - 2338305088}{- 2 \cdot 40817}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 40817 = 81634

= \frac{15680 - 2338305088}{- 81634}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

15680 - 2338305088 = - (2338305088 - 15680)

= \frac{2338305088 - 15680}{81634}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{15680 + 2338305088}{81634}, u = \frac{2338305088 - 15680}{81634}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{15680 + 2338305088}{81634}, cos (θ) = \frac{2338305088 - 15680}{81634}

cos (θ) = - \frac{15680 + 2338305088}{81634}, cos (θ) = \frac{2338305088 - 15680}{81634}

cos (θ) = - \frac{15680 + 2338305088}{81634} : θ = arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{15680 + 2338305088}{81634}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{15680 + 2338305088}{81634}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{15680 + 2338305088}{81634}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2338305088 - 15680}{81634} : θ = arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2338305088 - 15680}{81634}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{2338305088 - 15680}{81634}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2338305088 - 15680}{81634}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

196 sin (θ) - 49 cos (θ) = 160

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 π 1

196 sin (θ) - 49 cos (θ) = 160

ein, um zu lösen

196 sin (arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 π 1) - 49 cos (arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 π 1) = 160

Fasse zusammen

160 = 160

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 π 1

Setze

θ = - arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 π 1

196 sin (θ) - 49 cos (θ) = 160

ein, um zu lösen

196 sin (- arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 π 1) - 49 cos (- arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 π 1) = 160

Fasse zusammen

- 83.12602 \dots = 160

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 π 1

196 sin (θ) - 49 cos (θ) = 160

ein, um zu lösen

196 sin (arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 π 1) - 49 cos (arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 π 1) = 160

Fasse zusammen

160 = 160

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 π 1

Setze

θ = 2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 π 1

196 sin (θ) - 49 cos (θ) = 160

ein, um zu lösen

196 sin (2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 π 1) - 49 cos (2 π - arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 π 1) = 160

Fasse zusammen

- 199.22691 \dots = 160

\Rightarrow Falsch

θ = arccos (- \frac{15680 + 2338305088}{81634}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{2338305088 - 15680}{81634}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2.47257 \dots + 2 πn, θ = 1.15897 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4tan(x)+3=-7

4 tan (x) + 3 = - 7

8tan(θ)+15=0

8 tan (θ) + 15 = 0

cos(x)=(48.4)/(54.5)

cos (x) = \frac{48.4}{54.5}

cos(θ)=-7/10

cos (θ) = - \frac{7}{10}

cot(b)=(tan(b)cot(b))/(csc(b))

cot (b) = \frac{tan ( b ) cot ( b )}{csc ( b )}