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sin(2i)

Solução

sin (2 i)

Solução

i \frac{- 1 + e ^{4}}{2 e ^{2}}

Passos da solução

sin (2 i)

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sin (0) cosh (2) + i cos (0) sinh (2)

sin (2 i)

Usar a seguinte identidade:

sin (a + bi) = sin (a) cosh (b) + i cos (a) sinh (b)

= sin (0) cosh (2) + i cos (0) sinh (2)

= sin (0) cosh (2) + i cos (0) sinh (2)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

cosh (2) = \frac{e ^{4} + 1}{2 e ^{2}}

cosh (2)

Use a identidade hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2} + e ^{- 2}}{2}

\frac{e ^{2} + e ^{- 2}}{2} = \frac{e ^{4} + 1}{2 e ^{2}}

\frac{e ^{2} + e ^{- 2}}{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{2} + \frac{1}{e ^{2}}}{2}

Simplificar

e^{2} + \frac{1}{e ^{2}}

em uma fração:

\frac{e ^{4} + 1}{e ^{2}}

e^{2} + \frac{1}{e ^{2}}

Converter para fração:

e^{2} = \frac{e ^{2} e ^{2}}{e ^{2}}

= \frac{e ^{2} e ^{2}}{e ^{2}} + \frac{1}{e ^{2}}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2} e ^{2} + 1}{e ^{2}}

e^{2} e^{2} + 1 = e^{4} + 1

e^{2} e^{2} + 1

e^{2} e^{2} = e^{4}

e^{2} e^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2} e^{2} = e^{2 + 2}

= e^{2 + 2}

Somar:

2 + 2 = 4

= e^{4}

= e^{4} + 1

= \frac{e ^{4} + 1}{e ^{2}}

= \frac{\frac{e ^{4} + 1}{e ^{2}}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4} + 1}{e ^{2} \cdot 2}

= \frac{e ^{4} + 1}{2 e ^{2}}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sinh (2) = \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

sinh (2)

Use a identidade hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2} - e ^{- 2}}{2}

\frac{e ^{2} - e ^{- 2}}{2} = \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

\frac{e ^{2} - e ^{- 2}}{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{2} - \frac{1}{e ^{2}}}{2}

Simplificar

e^{2} - \frac{1}{e ^{2}}

em uma fração:

\frac{e ^{4} - 1}{e ^{2}}

e^{2} - \frac{1}{e ^{2}}

Converter para fração:

e^{2} = \frac{e ^{2} e ^{2}}{e ^{2}}

= \frac{e ^{2} e ^{2}}{e ^{2}} - \frac{1}{e ^{2}}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2} e ^{2} - 1}{e ^{2}}

e^{2} e^{2} - 1 = e^{4} - 1

e^{2} e^{2} - 1

e^{2} e^{2} = e^{4}

e^{2} e^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2} e^{2} = e^{2 + 2}

= e^{2 + 2}

Somar:

2 + 2 = 4

= e^{4}

= e^{4} - 1

= \frac{e ^{4} - 1}{e ^{2}}

= \frac{\frac{e ^{4} - 1}{e ^{2}}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4} - 1}{e ^{2} \cdot 2}

= \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

= 0 \cdot \frac{e ^{4} + 1}{2 e ^{2}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

Simplificar

0 \cdot \frac{e ^{4} + 1}{2 e ^{2}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}} : i \frac{- 1 + e ^{4}}{2 e ^{2}}

0 \cdot \frac{e ^{4} + 1}{2 e ^{2}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

0 \cdot \frac{e ^{4} + 1}{2 e ^{2}} = 0

0 \cdot \frac{e ^{4} + 1}{2 e ^{2}}

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

i 1 \cdot \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}} = \frac{i ( e ^{4} - 1 )}{2 e ^{2}}

i 1 \cdot \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{i ( e ^{4} - 1 )}{2 e ^{2}}

Multiplicar:

1 \cdot \frac{( e ^{4} - 1 ) i}{2 e ^{2}} = \frac{( e ^{4} - 1 ) i}{2 e ^{2}}

= \frac{i ( e ^{4} - 1 )}{2 e ^{2}}

= 0 + \frac{i ( e ^{4} - 1 )}{2 e ^{2}}

0 + \frac{( e ^{4} - 1 ) i}{2 e ^{2}} = \frac{( e ^{4} - 1 ) i}{2 e ^{2}}

= \frac{i ( e ^{4} - 1 )}{2 e ^{2}}

Reescrever

\frac{i ( e ^{4} - 1 )}{2 e ^{2}}

na forma complexa padrão:

\frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}} i

\frac{i ( e ^{4} - 1 )}{2 e ^{2}}

Expandir

i (e^{4} - 1) : e^{4} i - i

i (e^{4} - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{4}, c = 1

= i e^{4} - i 1

= e^{4} i - 1 i

Multiplicar:

1 i = i

= e^{4} i - i

= \frac{e ^{4} i - i}{2 e ^{2}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{e ^{4} i - i}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}} - \frac{i}{2 e ^{2}}

= \frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}} - \frac{i}{2 e ^{2}}

Cancelar

\frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}} : \frac{e ^{2} i}{2}

\frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}}

Cancelar

\frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}} : \frac{e ^{2} i}{2}

\frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{e ^{4}}{e ^{2}} = e^{4 - 2}

= \frac{i e ^{4 - 2}}{2}

Subtrair:

4 - 2 = 2

= \frac{e ^{2} i}{2}

= \frac{e ^{2} i}{2}

= \frac{e ^{2} i}{2} - \frac{i}{2 e ^{2}}

Agrupar a parte real e a parte imaginária do número complexo

= (\frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2}}) i

\frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

\frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2}}

Mínimo múltiplo comum de

2, 2 e^{2} : 2 e^{2}

2, 2 e^{2}

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Mínimo múltiplo comum de

2, 2 : 2

2, 2

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

2

ou em

2

= 2

Multiplicar os números:

2 = 2

= 2

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

2

quanto em

2 e^{2}

= 2 e^{2}

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{e ^{2}}{2} :

multiplique o numerador e o denominador por

e^{2}

\frac{e ^{2}}{2} = \frac{e ^{2} e ^{2}}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4}}{2 e ^{2}}

= \frac{e ^{4}}{2 e ^{2}} - \frac{1}{2 e ^{2}}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

= \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}} i

= \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}} i

= i \frac{- 1 + e ^{4}}{2 e ^{2}}

Exemplos populares