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(cos^2(x))/(1-cos(x))=1+cos(x)

Solução

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} = 1 + cos (x)

Solução

x = 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2.35619 \dots + 2 πn, x = - 2.35619 \dots + 2 πn

Graus

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} = 1 + cos (x)

Usando o método de substituição

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} = 1 + cos (x)

Sea:

cos (x) = u

\frac{u ^{2}}{1 - u} = 1 + u

\frac{u ^{2}}{1 - u} = 1 + u : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

\frac{u ^{2}}{1 - u} = 1 + u

Multiplicar ambos os lados por

1 - u

\frac{u ^{2}}{1 - u} = 1 + u

Multiplicar ambos os lados por

1 - u

\frac{u ^{2}}{1 - u} (1 - u) = 1 \cdot (1 - u) + u (1 - u)

Simplificar

\frac{u ^{2}}{1 - u} (1 - u) = 1 \cdot (1 - u) + u (1 - u)

Simplificar

\frac{u ^{2}}{1 - u} (1 - u) : u^{2}

\frac{u ^{2}}{1 - u} (1 - u)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{u ^{2} ( 1 - u )}{1 - u}

Eliminar o fator comum:

1 - u

= u^{2}

Simplificar

1 \cdot (1 - u) : 1 - u

1 \cdot (1 - u)

Multiplicar:

1 \cdot (1 - u) = (1 - u)

= (1 - u)

Remover os parênteses:

(a) = a

= 1 - u

u^{2} = 1 - u + u (1 - u)

u^{2} = 1 - u + u (1 - u)

u^{2} = 1 - u + u (1 - u)

Resolver

u^{2} = 1 - u + u (1 - u) : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u^{2} = 1 - u + u (1 - u)

Expandir

1 - u + u (1 - u) : 1 - u^{2}

1 - u + u (1 - u)

Expandir

u (1 - u) : u - u^{2}

u (1 - u)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 1, c = u

= u \cdot 1 - uu

= 1 \cdot u - uu

Simplificar

1 \cdot u - uu : u - u^{2}

1 \cdot u - uu

1 \cdot u = u

1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= u

uu = u^{2}

uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

= u - u^{2}

= u - u^{2}

= 1 - u + u - u^{2}

Somar elementos similares:

- u + u = 0

= 1 - u^{2}

u^{2} = 1 - u^{2}

Mova

u^{2}

para o lado esquerdo

u^{2} = 1 - u^{2}

Adicionar

u^{2}

a ambos os lados

u^{2} + u^{2} = 1 - u^{2} + u^{2}

Simplificar

2 u^{2} = 1

2 u^{2} = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u^{2} = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 1

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{u ^{2}}{1 - u}

e comparar com zero

Resolver

1 - u = 0 : u = 1

1 - u = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - u = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - u - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u = - 1

- u = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

- u = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u = 1

u = 1

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 1

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2.35619 \dots + 2 πn, x = - 2.35619 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(x)= 19/50

sin (x) = \frac{19}{50}

5sin(2x-pi/2)=0.5

5 sin (2 x - \frac{π}{2}) = 0.5

5sin(x)=3sin(x)+cos(x)

5 sin (x) = 3 sin (x) + cos (x)

3-3cos(5x)=3cos(5x)

3 - 3 cos (5 x) = 3 cos (5 x)

1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))=2sec^2(x)

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 sec^{2} (x)