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Popolare Trigonometria >

(cot(θ)+csc(θ))/(sec(θ)+1)=sin(θ)

Soluzione

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} = sin (θ)

Soluzione

θ = 0.90455 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Gradi

θ = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} = sin (θ)

Sottrarre

sin (θ)

da entrambi i lati

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} - sin (θ) = 0

Semplifica

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} - sin (θ) : \frac{cot ( θ ) + csc ( θ ) - sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1}

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} - sin (θ)

Converti l'elemento in frazione:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1}

= \frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} - \frac{sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cot ( θ ) + csc ( θ ) - sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1}

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ ) - sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cot (θ) + csc (θ) - sin (θ) (sec (θ) + 1) = 0

Esprimere con sen e cos

cot (θ) + csc (θ) - (1 + sec (θ)) sin (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + csc (θ) - (1 + sec (θ)) sin (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} - (1 + sec (θ)) sin (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} - (1 + \frac{1}{cos ( θ )}) sin (θ)

Semplifica

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} - (1 + \frac{1}{cos ( θ )}) sin (θ) : \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) - sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} - (1 + \frac{1}{cos ( θ )}) sin (θ)

Combinare le frazioni

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} - sin (θ) (\frac{1}{cos ( θ )} + 1)

Unisci

1 + \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

1 + \frac{1}{cos ( θ )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} - \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )} sin (θ)

Moltiplicare

\frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )} sin (θ) : \frac{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{cos ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )} sin (θ)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} - \frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

Minimo Comune Multiplo di

sin (θ), cos (θ) : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sin (θ)

cos (θ)

= sin (θ) cos (θ)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sin (θ) cos (θ)

Per

\frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (θ)

\frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} = \frac{( cos ( θ ) + 1 ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Per

\frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{cos ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (θ)

\frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) cos ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) - sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ ) - ( 1 + cos ( θ ) ) sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(1 + cos (θ)) cos (θ) - (1 + cos (θ)) sin^{2} (θ) = 0

Fattorizza

(1 + cos (θ)) cos (θ) - (1 + cos (θ)) sin^{2} (θ) : (1 + cos (θ)) (cos (θ) - sin^{2} (θ))

(1 + cos (θ)) cos (θ) - (1 + cos (θ)) sin^{2} (θ)

Fattorizzare dal termine comune

(1 + cos (θ))

= (1 + cos (θ)) (cos (θ) - sin^{2} (θ))

(1 + cos (θ)) (cos (θ) - sin^{2} (θ)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

1 + cos (θ) = 0 or cos (θ) - sin^{2} (θ) = 0

1 + cos (θ) = 0 : θ = π + 2 πn

1 + cos (θ) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + cos (θ) = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + cos (θ) - 1 = 0 - 1

Semplificare

cos (θ) = - 1

cos (θ) = - 1

Soluzioni generali per

cos (θ) = - 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) - sin^{2} (θ) = 0 : θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (θ) - sin^{2} (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (θ) - sin^{2} (θ)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Distribuire le parentesi

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= cos (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

- 1 + cos (θ) + cos^{2} (θ) = 0

Risolvi per sostituzione

- 1 + cos (θ) + cos^{2} (θ) = 0

Sia:

cos (θ) = u

- 1 + u + u^{2} = 0

- 1 + u + u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 + u + u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

u^{2} + u - 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Aggiungi i numeri:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Sostituire indietro

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (θ) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (θ) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2} : θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}

Soluzioni generali per

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Nessuna soluzione

cos (θ) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Poiché l'equazione è non definita per:

π + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

θ = 0.90455 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

1/(cos(2x))+tan(2x)=3cos(2x),0<x<90

\frac{1}{cos ( 2 x )} + tan (2 x) = 3 cos (2 x), 0^{\circ} < x < 9 0^{\circ}

sin(x)= 4/5 ,0<= x<2pi

sin (x) = \frac{4}{5}, 0 \leq x < 2 π

7sin^2(θ)-5sin(θ)=2

7 sin^{2} (θ) - 5 sin (θ) = 2

sec(2x)=-(2/(sqrt(3)))

sec (2 x) = - (\frac{2}{3})

(e^{-ln(-(sin(θ))/(cos(θ)))})/2*sin(θ)=0

\frac{e ^{- l n (- \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )})}}{2} \cdot sin (θ) = 0