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受欢迎的三角函数 >

cot(θ)+3csc(θ)=5

解答

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

解答

θ = 0.82641 \dots + 2 πn, θ = 2.70997 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 47.34982 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 155.27003 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

两边减去

5

cot (θ) + 3 csc (θ) - 5 = 0

用 sin, cos 表示

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5 = 0

化简

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5 : \frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 5

3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{3}{sin ( θ )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( θ )}

数字相乘:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{3}{sin ( θ )} - 5

合并分式

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{3}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )} - 5

将项转换为分式:

5 = \frac{5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 3}{sin ( θ )} - \frac{5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 3 - 5 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 3 - 5 sin (θ) = 0

两边加上

5 sin (θ)

cos (θ) + 3 = 5 sin (θ)

两边进行平方

(cos (θ) + 3)^{2} = (5 sin (θ))^{2}

两边减去

(5 sin (θ))^{2}

(cos (θ) + 3)^{2} - 25 sin^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

(3 + cos (θ))^{2} - 25 sin^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ))

化简

(3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ)) : 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

(3 + cos (θ))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (θ))

(3 + cos (θ))^{2} : 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

使用完全平方公式:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 3, b = cos (θ)

= 3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

化简

3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

3^{2} + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

3^{2} = 9

= 9 + 2 \cdot 3 cos (θ) + cos^{2} (θ)

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 (1 - cos^{2} (θ))

乘开

- 25 (1 - cos^{2} (θ)) : - 25 + 25 cos^{2} (θ)

- 25 (1 - cos^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) cos^{2} (θ)

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 cos^{2} (θ)

数字相乘:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 cos^{2} (θ)

= 9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ)

化简

9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ) : 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

9 + 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 25 + 25 cos^{2} (θ)

对同类项分组

= 6 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 25 cos^{2} (θ) + 9 - 25

同类项相加:

cos^{2} (θ) + 25 cos^{2} (θ) = 26 cos^{2} (θ)

= 6 cos (θ) + 26 cos^{2} (θ) + 9 - 25

数字相加/相减:

9 - 25 = - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

= 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 16

- 16 + 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

用替代法求解

- 16 + 26 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0 : u = \frac{- 3 + 5 17}{26}, u = - \frac{3 + 5 17}{26}

- 16 + 26 u^{2} + 6 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

26 u^{2} + 6 u - 16 = 0

使用求根公式求解

26 u^{2} + 6 u - 16 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 26, b = 6, c = - 16

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 16 )}{2 \cdot 26}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 16 )}{2 \cdot 26}

6^{2} - 4 \cdot 26 (- 16) = 1017

6^{2} - 4 \cdot 26 (- 16)

使用法则

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 16

数字相乘:

4 \cdot 26 \cdot 16 = 1664

= 6^{2} + 1664

6^{2} = 36

= 36 + 1664

数字相加:

36 + 1664 = 1700

= 1700

1700

质因数分解:

2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

1700

1700

除以

21700 = 850 \cdot 2

= 2 \cdot 850

850

除以

2850 = 425 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 425

425

除以

5425 = 85 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 85

85

除以

585 = 17 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17

2, 5, 17

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 17

使用根式运算法则:

n ab = n a n b

= 17 2^{2} 5^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217 5^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 517

整理后得

= 1017

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 10 17}{2 \cdot 26}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26}, u_{2} = \frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26}

u = \frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26} : \frac{- 3 + 5 17}{26}

\frac{- 6 + 10 17}{2 \cdot 26}

数字相乘:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 6 + 10 17}{52}

分解

- 6 + 1017 : 2 (- 3 + 517)

- 6 + 1017

改写为

= - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 517

因式分解出通项

2

= 2 (- 3 + 517)

= \frac{2 ( - 3 + 5 17 )}{52}

约分:

2

= \frac{- 3 + 5 17}{26}

u = \frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26} : - \frac{3 + 5 17}{26}

\frac{- 6 - 10 17}{2 \cdot 26}

数字相乘:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 6 - 10 17}{52}

分解

- 6 - 1017 : - 2 (3 + 517)

- 6 - 1017

改写为

= - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 517

因式分解出通项

2

= - 2 (3 + 517)

= - \frac{2 ( 3 + 5 17 )}{52}

约分:

2

= - \frac{3 + 5 17}{26}

二次方程组的解是:

u = \frac{- 3 + 5 17}{26}, u = - \frac{3 + 5 17}{26}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}, cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}, cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26} : θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

cos (θ) = \frac{- 3 + 5 17}{26}

的通解

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26} : θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

使用反三角函数性质

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

cos (θ) = - \frac{3 + 5 17}{26}

的通解

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

合并所有解

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

将解代入原方程进行验证

将它们代入

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

检验

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

的解:

真

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

代入

n = 1

arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

对于

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

代入

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

整理后得

5 = 5

\Rightarrow 真

检验

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

的解:

假

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn

代入

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

对于

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

代入

θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (2 π - arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

整理后得

- 5 = 5

\Rightarrow 假

检验

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

的解:

真

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

代入

n = 1

arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

对于

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

代入

θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

整理后得

5 = 5

\Rightarrow 真

检验

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

的解:

假

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

代入

n = 1

- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

对于

cot (θ) + 3 csc (θ) = 5

代入

θ = - arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1

cot (- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) + 3 csc (- arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 π 1) = 5

整理后得

- 5 = 5

\Rightarrow 假

θ = arccos (\frac{- 3 + 5 17}{26}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 + 5 17}{26}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = 0.82641 \dots + 2 πn, θ = 2.70997 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

2cos^2(θ)-2sin^2(θ)=sqrt(3)

2 cos^{2} (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 3

1 - ∣ cos (x) ∣ = 0

sin (θ) = - 0.789

\frac{1}{2} \cdot cos (a) = 0

94.5^2=60^2+50^2+6000cos(θ)

94. 5^{2} = 6 0^{2} + 5 0^{2} + 6000 cos (θ)