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Populaire Trigonométrie >

sinh(x)=2cosh(x)sinh(x)

Solution

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Solution

x = 0

Degrés

x = 0^{\circ}

étapes des solutions

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sinh (x) = 2 cosh (x) sinh (x)

Use the Hyperbolic identity:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 cosh (x) sinh (x)

Use the Hyperbolic identity:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 cosh (x) \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} : x = 0

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2

Simplifier

e^{x} - e^{- x} = (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})

Appliquer les règles des exposants

e^{x} - e^{- x} = (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

Récrire l'équation avec

e^{x} = u

u - (u)^{- 1} = (u + (u)^{- 1}) (u - (u)^{- 1})

Résoudre

u - u^{- 1} = (u + u^{- 1}) (u - u^{- 1}) : u = 1, u = - 1

u - u^{- 1} = (u + u^{- 1}) (u - u^{- 1})

Redéfinir

u - \frac{1}{u} = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Multiplier les deux côtés par

u

u - \frac{1}{u} = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Multiplier les deux côtés par

u

uu - \frac{1}{u} u = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Simplifier

uu - \frac{1}{u} u = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Simplifier

uu : u^{2}

uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplifier

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= - 1

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 = (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

Développer

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u : u^{3} - \frac{1}{u}

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) u

= u (u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Développer

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u}) : u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

(u + \frac{1}{u}) (u - \frac{1}{u})

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = \frac{1}{u}

= u^{2} - (\frac{1}{u})^{2}

(\frac{1}{u})^{2} = \frac{1}{u ^{2}}

(\frac{1}{u})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{u ^{2}}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{u ^{2}}

= u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}

= u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}})

Développer

u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) : u^{3} - \frac{1}{u}

u (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = u^{2}, c = \frac{1}{u ^{2}}

= u u^{2} - u \frac{1}{u ^{2}}

= u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u

Simplifier

u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u : u^{3} - \frac{1}{u}

u^{2} u - \frac{1}{u ^{2}} u

u^{2} u = u^{3}

u^{2} u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= u^{3}

\frac{1}{u ^{2}} u = \frac{1}{u}

\frac{1}{u ^{2}} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u ^{2}}

Multiplier:

1 \cdot u = u

= \frac{u}{u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

u

= \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

= u^{3} - \frac{1}{u}

u^{2} - 1 = u^{3} - \frac{1}{u}

Multiplier les deux côtés par

u

u^{2} - 1 = u^{3} - \frac{1}{u}

Multiplier les deux côtés par

u

u^{2} u - 1 \cdot u = u^{3} u - \frac{1}{u} u

Simplifier

u^{2} u - 1 \cdot u = u^{3} u - \frac{1}{u} u

Simplifier

u^{2} u : u^{3}

u^{2} u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= u^{3}

Simplifier

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multiplier:

1 \cdot u = u

= - u

Simplifier

u^{3} u : u^{4}

u^{3} u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{3} u = u^{3 + 1}

= u^{3 + 1}

Additionner les nombres :

3 + 1 = 4

= u^{4}

Simplifier

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

Résoudre

u^{3} - u = u^{4} - 1 : u = 1, u = - 1

u^{3} - u = u^{4} - 1

Transposer les termes des côtés

u^{4} - 1 = u^{3} - u

Déplacer

u

vers la gauche

u^{4} - 1 = u^{3} - u

Ajouter

u

aux deux côtés

u^{4} - 1 + u = u^{3} - u + u

Simplifier

u^{4} - 1 + u = u^{3}

u^{4} - 1 + u = u^{3}

Déplacer

u^{3}

vers la gauche

u^{4} - 1 + u = u^{3}

Soustraire

u^{3}

des deux côtés

u^{4} - 1 + u - u^{3} = u^{3} - u^{3}

Simplifier

u^{4} - 1 + u - u^{3} = 0

u^{4} - 1 + u - u^{3} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{3} + u - 1 = 0

Factoriser

u^{4} - u^{3} + u - 1 : (u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1)

u^{4} - u^{3} + u - 1

= (u^{4} - u^{3}) + (u - 1)

Factoriser

u^{3}

depuis

u^{4} - u^{3} : u^{3} (u - 1)

u^{4} - u^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{4} = u u^{3}

= u u^{3} - u^{3}

Factoriser le terme commun

u^{3}

= u^{3} (u - 1)

= (u - 1) + u^{3} (u - 1)

Factoriser le terme commun

u - 1

= (u - 1) (u^{3} + 1)

Factoriser

u^{3} + 1 : (u + 1) (u^{2} - u + 1)

u^{3} + 1

Récrire

1

comme

1^{3}

= u^{3} + 1^{3}

Appliquer la somme de la formule des cubes :

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

u^{3} + 1^{3} = (u + 1) (u^{2} - u + 1)

= (u + 1) (u^{2} - u + 1)

= (u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1)

(u - 1) (u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u + 1 = 0 or u^{2} - u + 1 = 0

Résoudre

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

Résoudre

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

Résoudre

u^{2} - u + 1 = 0 :

Aucune solution pour

u \in R

u^{2} - u + 1 = 0

Discriminant noté

u^{2} - u + 1 = 0 : - 3

u^{2} - u + 1 = 0

Pour une équation quadratique de forme

a x^{2} + b x + c = 0

le discriminant noté est

b^{2} - 4 a c

Pour

a = 1, b = - 1, c = 1 : (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Développer

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : - 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Soustraire les nombres :

1 - 4 = - 3

= - 3

- 3

Le discriminant noté ne peut pas être négatif pour

u \in R

La solution est

Aucune solution pour u \in R

Les solutions sont

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

u - u^{- 1}

et le comparer à zéro

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

(u + u^{- 1}) (u - u^{- 1})

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Resubstituer

u = e^{x},

résoudre pour

x

Résoudre

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Simplifier

ln (1) : 0

ln (1)

Appliquer la loi des logarithmes:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Résoudre

e^{x} = - 1 :

Aucune solution pour

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

ne peut pas être nulle ou négative pour

x \in R

Aucune solution pour x \in R

x = 0

x = 0

Graphe

Exemples populaires

cos^2(x)=sin(x)+1

cos^{2} (x) = sin (x) + 1

tan(x)= 5/(-4)

tan (x) = \frac{5}{- 4}

cot(α)=4.9

cot (α) = 4.9

0=8tan(θ)

0 = 8 tan (θ)

1=4sin^2(θ)

1 = 4 sin^{2} (θ)