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Populaire Trigonométrie >

2cos^4(x)-2cos^2(x)=4cos^2(x)-1

Solution

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Solution

x = 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2.00519 \dots + 2 πn, x = - 2.00519 \dots + 2 πn

Degrés

x = 65.11101 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 294.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 114.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 114.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Résoudre par substitution

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Soit :

cos (x) = u

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1 : u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}, u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

Déplacer

1

vers la gauche

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2} - 1 + 1

Simplifier

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

Déplacer

4 u^{2}

vers la gauche

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

Soustraire

4 u^{2}

des deux côtés

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Simplifier

2 u^{4} - 6 u^{2} + 1 = 0

2 u^{4} - 6 u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Résoudre

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0 : v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = - 6, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 27

(- 6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 6^{2} - 8

6^{2} = 36

= 36 - 8

Soustraire les nombres :

36 - 8 = 28

= 28

Factorisation première de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

divisée par

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divisée par

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Appliquer la règle des radicaux:

= 7 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 27

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2 7}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

v_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2} : \frac{3 + 7}{2}

\frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{6 + 2 7}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6 + 2 7}{4}

Factoriser

6 + 27 : 2 (3 + 7)

6 + 27

Récrire comme

= 2 \cdot 3 + 27

Factoriser le terme commun

2

= 2 (3 + 7)

= \frac{2 ( 3 + 7 )}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3 + 7}{2}

v = \frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2} : \frac{3 - 7}{2}

\frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{6 - 2 7}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6 - 2 7}{4}

Factoriser

6 - 27 : 2 (3 - 7)

6 - 27

Récrire comme

= 2 \cdot 3 - 27

Factoriser le terme commun

2

= 2 (3 - 7)

= \frac{2 ( 3 - 7 )}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3 - 7}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = \frac{3 + 7}{2} : u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}

u^{2} = \frac{3 + 7}{2}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}

Résoudre

u^{2} = \frac{3 - 7}{2} : u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

u^{2} = \frac{3 - 7}{2}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

Les solutions sont

u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}, u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = \frac{3 - 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = \frac{3 - 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = \frac{3 + 7}{2} :

Aucune solution

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = - \frac{3 + 7}{2} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = \frac{3 - 7}{2} : x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2} : x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2.00519 \dots + 2 πn, x = - 2.00519 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

solvefor x,t^2=2sec(x)

(8cos(x)-4)(sin(x))=0,0<= x<2pi

sin(x)=3511

(10)/(sin(30))= 3/(sin(b))

tan(θ/2-pi/6)=-1,0<= θ<2pi