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Beliebt Trigonometrie >

-4cos^2(θ)+cos(θ)=9cos(θ)+3

Lösung

- 4 cos^{2} (θ) + cos (θ) = 9 cos (θ) + 3

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 4 cos^{2} (θ) + cos (θ) = 9 cos (θ) + 3

Löse mit Substitution

- 4 cos^{2} (θ) + cos (θ) = 9 cos (θ) + 3

Angenommen:

cos (θ) = u

- 4 u^{2} + u = 9 u + 3

- 4 u^{2} + u = 9 u + 3 : u = - \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2}

- 4 u^{2} + u = 9 u + 3

Verschiebe

3

auf die linke Seite

- 4 u^{2} + u = 9 u + 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

- 4 u^{2} + u - 3 = 9 u + 3 - 3

Vereinfache

- 4 u^{2} + u - 3 = 9 u

- 4 u^{2} + u - 3 = 9 u

Verschiebe

9 u

auf die linke Seite

- 4 u^{2} + u - 3 = 9 u

Subtrahiere

9 u

von beiden Seiten

- 4 u^{2} + u - 3 - 9 u = 9 u - 9 u

Vereinfache

- 4 u^{2} - 8 u - 3 = 0

- 4 u^{2} - 8 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 8 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 8, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 3 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 3 )}{2 ( - 4 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 4) (- 3) = 4

(- 8)^{2} - 4 (- 4) (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 8^{2} - 48

8^{2} = 64

= 64 - 48

Subtrahiere die Zahlen:

64 - 48 = 16

= 16

Faktorisiere die Zahl:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

4^{2} = 4

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 4}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 4}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 4}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 4}{2 ( - 4 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 8 ) + 4}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 4}{- 2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

8 + 4 = 12

= \frac{12}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{12}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 8 ) - 4}{2 ( - 4 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 8 ) - 4}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 4}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 4 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{3}{2}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{3}{2}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (θ) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3+4cot(x)=5csc(x)

3 + 4 cot (x) = 5 csc (x)

(tan(x)-1)(sec(x)+1)=0

(tan (x) - 1) (sec (x) + 1) = 0

tan(θ)= 9/10

tan (θ) = \frac{9}{10}

tan(x)= 3/(sqrt(205))

tan (x) = \frac{3}{205}

sin(x)sin(2x)=sin(3x)

sin (x) sin (2 x) = sin (3 x)