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人気のある三角関数 >

2cos^2(θ)-1=sec(θ)

解

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

解

θ = 2 πn

+1

度

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

両辺から

sec (θ)

を引く

2 cos^{2} (θ) - 1 - sec (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 - sec (θ) + 2 cos^{2} (θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 1 - sec (θ) + 2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= 2 \cdot \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ^{2} ( θ )}

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

= - 1 - sec (θ) + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )} - sec (θ) = 0

置換で解く

- 1 + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )} - sec (θ) = 0

仮定:

sec (θ) = u

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0 : u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

以下で両辺を乗じる:

u^{2}

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

以下で両辺を乗じる:

u^{2}

- 1 \cdot u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} - u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

簡素化

- 1 \cdot u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} - u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

簡素化

- 1 \cdot u^{2} : - u^{2}

- 1 \cdot u^{2}

乗算:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - u^{2}

簡素化

\frac{2}{u ^{2}} u^{2} : 2

\frac{2}{u ^{2}} u^{2}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2}}{u ^{2}}

共通因数を約分する:

u^{2}

= 2

簡素化

- u u^{2} : - u^{3}

- u u^{2}

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= - u^{1 + 2}

数を足す:

1 + 2 = 3

= - u^{3}

簡素化

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

解く

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0 : u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

標準的な形式で書く

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{3} - u^{2} + 2 = 0

因数

- u^{3} - u^{2} + 2 : - (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

- u^{3} - u^{2} + 2

共通項をくくり出す

- 1

= - (u^{3} + u^{2} - 2)

因数

u^{3} + u^{2} - 2 : (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

u^{3} + u^{2} - 2

有理根定理を使用する

a_{0} = 2, a_{n} = 1

a_{0} : 1, 2

の除数,

a_{n} : 1

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1 , 2}{1}

\frac{1}{1}

は式の累乗根なので

u - 1

をくくり出す

= (u - 1) \frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + 2 u + 2

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

割る

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} : \frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

分子

u^{3} + u^{2} - 2

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

商 = u^{2}

u - 1

に

u^{2}

を乗じる:

u^{3} - u^{2}

u^{3} - u^{2}

を

u^{3} + u^{2} - 2

から引いて新しい余りを得る

余り = 2 u^{2} - 2

このため

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

= u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

割る

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

分子

2 u^{2} - 2

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

商 = 2 u

u - 1

に

2 u

を乗じる:

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - 2 u

を

2 u^{2} - 2

から引いて新しい余りを得る

余り = 2 u - 2

このため

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

= u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

割る

\frac{2 u - 2}{u - 1} : \frac{2 u - 2}{u - 1} = 2

分子

2 u - 2

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{2 u}{u} = 2

商 = 2

u - 1

に

2

を乗じる:

2 u - 2

2 u - 2

を

2 u - 2

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{2 u - 2}{u - 1} = 2

= u^{2} + 2 u + 2

= u^{2} + 2 u + 2

= (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

= - (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

- (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 2 u + 2 = 0

解く

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

解く

u^{2} + 2 u + 2 = 0 : u = - 1 + i, u = - 1 - i

u^{2} + 2 u + 2 = 0

解くとthe二次式

u^{2} + 2 u + 2 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 1, b = 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

簡素化

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

数を乗じる:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} - 8

虚数の規則を適用する:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

数を足す/引く:

- 4 + 8 = 4

= 4

数を因数に分解する:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1} : - 1 + i

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 i}{2}

因数

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

書き換え

= - 2 \cdot 1 + 2 i

共通項をくくり出す

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1} : - 1 - i

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 i}{2}

因数

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

書き換え

= - 2 \cdot 1 - 2 i

共通項をくくり出す

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + i)

否定

- (1 + i) = - 1 - i

= - 1 - i

二次equationの解:

u = - 1 + i, u = - 1 - i

解答は

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

解を検算する

未定義の (特異) 点を求める:

u = 0

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u

の分母をゼロに比較する

解く

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

規則を適用

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

以下の点は定義されていない

u = 0

未定義のポイントを解に組み合わせる:

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

代用を戻す

u = sec (θ)

sec (θ) = 1, sec (θ) = - 1 + i, sec (θ) = - 1 - i

sec (θ) = 1, sec (θ) = - 1 + i, sec (θ) = - 1 - i

sec (θ) = 1 : θ = 2 πn

sec (θ) = 1

以下の一般解

sec (θ) = 1

sec (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル :

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

解く

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

sec (θ) = - 1 + i :

解なし

sec (θ) = - 1 + i

解なし

sec (θ) = - 1 - i :

解なし

sec (θ) = - 1 - i

解なし

すべての解を組み合わせる

θ = 2 πn

グラフ

人気の例

1/(sin(x))-sin(x)=sin(x)

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) = sin (x)

4 cos^{2} (x) = 0

sin(2x)=(2*10*1500000)/(11000000)

sin (2 x) = \frac{2 \cdot 10 \cdot 1500000}{11000000}

2/(tan(x))=3-tan(x)

\frac{2}{tan ( x )} = 3 - tan (x)

tan (x) = 0.158