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Popolare Trigonometria >

cos(2x)-cos(x)=2

Soluzione

cos (2 x) - cos (x) = 2

Soluzione

x = π + 2 πn

Gradi

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (2 x) - cos (x) = 2

Sottrarre

2

da entrambi i lati

cos (2 x) - cos (x) - 2 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 2 + cos (2 x) - cos (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 - cos (x)

Semplificare

- 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 - cos (x) : 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

- 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 - cos (x)

Raggruppa termini simili

= 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 2 - 1

Sottrai i numeri:

- 2 - 1 = - 3

= 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

= 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 3

- 3 - cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 3 - cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- 3 - u + 2 u^{2} = 0

- 3 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - 1

- 3 - u + 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u - 3 = 0

Risolvi con la formula quadratica

2 u^{2} - u - 3 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 2, b = - 1, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

4 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 24

= 1 + 24

Aggiungi i numeri:

1 + 24 = 25

= 25

Fattorizzare il numero:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 2}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2} : \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 2}

Aggiungi i numeri:

1 + 5 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

1 - 5 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{3}{2}, u = - 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{3}{2} :

Nessuna soluzione

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Soluzioni generali per

cos (x) = - 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = π + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

4sin(2x)+2sqrt(3)=0

4 sin (2 x) + 23 = 0

solvefor x,3=18cos(x)

so l v e f or x, 3 = 18 cos (x)

solvefor x,2sin((pi(x-2))/6)=1

so l v e f or x, 2 sin (\frac{π ( x - 2 )}{6}) = 1

(1-sin(x))(1-sin(x))=cos^2(x)

(1 - sin (x)) (1 - sin (x)) = cos^{2} (x)

2cos(x)=cos^2(x)-1

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1