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Beliebt Trigonometrie >

1+cos(a)=(2cos^2(a))/2

Lösung

1 + cos (a) = \frac{2 cos ^{2} ( a )}{2}

Lösung

a = 2.23703 \dots + 2 πn, a = - 2.23703 \dots + 2 πn

Grad

a = 128.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = - 128.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 + cos (a) = \frac{2 cos ^{2} ( a )}{2}

Löse mit Substitution

1 + cos (a) = \frac{2 cos ^{2} ( a )}{2}

Angenommen:

cos (a) = u

1 + u = \frac{2 u ^{2}}{2}

1 + u = \frac{2 u ^{2}}{2} : u = \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}

1 + u = \frac{2 u ^{2}}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

1 + u = \frac{2 u ^{2}}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

1 \cdot 2 + u \cdot 2 = \frac{2 u ^{2}}{2} \cdot 2

Vereinfache

2 + 2 u = 2 u^{2}

2 + 2 u = 2 u^{2}

Tausche die Seiten

2 u^{2} = 2 + 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

2 u^{2} = 2 + 2 u

Subtrahiere

2 u

von beiden Seiten

2 u^{2} - 2 u = 2 + 2 u - 2 u

Vereinfache

2 u^{2} - 2 u = 2

2 u^{2} - 2 u = 2

Verschiebe

2

auf die linke Seite

2 u^{2} - 2 u = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 u^{2} - 2 u - 2 = 2 - 2

Vereinfache

2 u^{2} - 2 u - 2 = 0

2 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 25

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Addiere die Zahlen:

4 + 16 = 20

= 20

Primfaktorzerlegung von

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 5}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 2} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 5}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 5}{4}

Faktorisiere

2 + 25 : 2 (1 + 5)

2 + 25

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 5)

= \frac{2 ( 1 + 5 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 5}{2}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 2} : \frac{1 - 5}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 5}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 5}{4}

Faktorisiere

2 - 25 : 2 (1 - 5)

2 - 25

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 5)

= \frac{2 ( 1 - 5 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}

Setze in

u = cos (a)

ein

cos (a) = \frac{1 + 5}{2}, cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

cos (a) = \frac{1 + 5}{2}, cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

cos (a) = \frac{1 + 5}{2} :

Keine Lösung

cos (a) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (a) = \frac{1 - 5}{2} : a = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, a = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (a) = \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

a = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, a = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

a = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, a = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

a = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, a = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

a = 2.23703 \dots + 2 πn, a = - 2.23703 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)+cos^4(x)= 1/2

cos (x) + cos^{4} (x) = \frac{1}{2}

sin^2(x)=sec(x)

sin^{2} (x) = sec (x)

5sin^2(x)-11sin(x)+2=0

5 sin^{2} (x) - 11 sin (x) + 2 = 0

3cos^2(x)-sin^2(x)-sin^2(x)=0

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

3sin(a)+cos(a)=1

3 sin (a) + cos (a) = 1