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sin(2θ)+sin(θ)=0

Lösung

sin (2 θ) + sin (θ) = 0

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (2 θ) + sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 θ) + sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) + sin (θ)

sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) : sin (θ) (2 cos (θ) + 1)

sin (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (1 + 2 cos (θ))

sin (θ) (2 cos (θ) + 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or 2 cos (θ) + 1 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

2 cos (θ) + 1 = 0 : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 cos (θ) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 cos (θ) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 cos (θ) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 cos (θ) = - 1

2 cos (θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{3}{2}

tan (- π)

sin (x) = - 0.7

cot (3 0^{\circ})

p ro v e \frac{cos ( 2 x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) )} = cos (x) - sin (x)