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人気のある三角関数 >

2sin(x)-3cos(x)=2

解

2 sin (x) - 3 cos (x) = 2

解

x = - 2.74680 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

+1

度

x = - 157.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

2 sin (x) - 3 cos (x) = 2

両辺に

3 cos (x)

を足す

2 sin (x) = 2 + 3 cos (x)

両辺を2乗する

(2 sin (x))^{2} = (2 + 3 cos (x))^{2}

両辺から

(2 + 3 cos (x))^{2}

を引く

4 sin^{2} (x) - 4 - 12 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 4 - 12 cos (x) + 4 sin^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 12 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 4 - 12 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) : - 13 cos^{2} (x) - 12 cos (x)

- 4 - 12 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x)

拡張

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 4 - 12 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 4 - 12 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) : - 13 cos^{2} (x) - 12 cos (x)

- 4 - 12 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

類似した元を足す:

- 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 13 cos^{2} (x)

= - 4 - 12 cos (x) + 4 - 13 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 12 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 4 + 4

- 4 + 4 = 0

= - 13 cos^{2} (x) - 12 cos (x)

= - 13 cos^{2} (x) - 12 cos (x)

= - 13 cos^{2} (x) - 12 cos (x)

- 12 cos (x) - 13 cos^{2} (x) = 0

置換で解く

- 12 cos (x) - 13 cos^{2} (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 12 u - 13 u^{2} = 0

- 12 u - 13 u^{2} = 0 : u = - \frac{12}{13}, u = 0

- 12 u - 13 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} - 12 u = 0

解くとthe二次式

- 13 u^{2} - 12 u = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 13, b = - 12, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 0}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 0}{2 ( - 13 )}

(- 12)^{2} - 4 (- 13) \cdot 0 = 12

(- 12)^{2} - 4 (- 13) \cdot 0

規則を適用

- (- a) = a

= (- 12)^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 0

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 0

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 1 2^{2} + 0

1 2^{2} + 0 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

, 以下を想定

a \geq 0

= 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 12}{2 ( - 13 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 12}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 12}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- ( - 12 ) + 12}{2 ( - 13 )} : - \frac{12}{13}

\frac{- ( - 12 ) + 12}{2 ( - 13 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{12 + 12}{- 2 \cdot 13}

数を足す:

12 + 12 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 13}

数を乗じる:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{24}{- 26}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{26}

共通因数を約分する:

2

= - \frac{12}{13}

u = \frac{- ( - 12 ) - 12}{2 ( - 13 )} : 0

\frac{- ( - 12 ) - 12}{2 ( - 13 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{12 - 12}{- 2 \cdot 13}

数を引く:

12 - 12 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 13}

数を乗じる:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{0}{- 26}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{26}

規則を適用

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

二次equationの解:

u = - \frac{12}{13}, u = 0

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{12}{13}, cos (x) = 0

cos (x) = - \frac{12}{13}, cos (x) = 0

cos (x) = - \frac{12}{13} : x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{12}{13}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{12}{13}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

以下の一般解

cos (x) = 0

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

2 sin (x) - 3 cos (x) = 2

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

偽

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

2 sin (x) - 3 cos (x) = 2

の挿入向け

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

2 sin (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 2

改良

3.53846 \dots = 2

\Rightarrow 偽

解答を確認する

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

真

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

2 sin (x) - 3 cos (x) = 2

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

2 sin (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 2

改良

2 = 2

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{π}{2} + 2 πn :

真

\frac{π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

2 sin (x) - 3 cos (x) = 2

の挿入向け

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

2 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) - 3 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 2

改良

2 = 2

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

偽

\frac{3 π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 sin (x) - 3 cos (x) = 2

の挿入向け

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) - 3 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 2

改良

- 2 = 2

\Rightarrow 偽

x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = - 2.74680 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

グラフ

人気の例