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人気のある微分積分 >

integral of ((x^2-16)^{3/2})/(x^3)

解

\int \frac{( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{3}} d x

解

\frac{16 ( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{4}} - 6 arcsec (\frac{1}{4} x) + 3 sin (2 arcsec (\frac{1}{4} x)) + \frac{( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{5}{2}}}{x ^{4}} + C

解答ステップ

\int \frac{( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{3}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int 4 tan^{4} (u) cos^{2} (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int tan^{4} (u) cos^{2} (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= 4 \cdot \int \frac{sin ^{4} ( u )}{cos ^{2} ( u )} d u

部分積分を適用する

= 4 (- \int 4 sin^{4} (u) d u + sin^{4} (u) tan (u))

\int 4 sin^{4} (u) d u = - sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{2} u - \frac{3}{4} sin (2 u)

= 4 (- (- sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{2} u - \frac{3}{4} sin (2 u)) + sin^{4} (u) tan (u))

代用を戻す

u = arcsec (\frac{1}{4} x)

= 4 (- (- sin^{3} (arcsec (\frac{1}{4} x)) cos (arcsec (\frac{1}{4} x)) + \frac{3}{2} arcsec (\frac{1}{4} x) - \frac{3}{4} sin (2 arcsec (\frac{1}{4} x))) + sin^{4} (arcsec (\frac{1}{4} x)) tan (arcsec (\frac{1}{4} x)))

簡素化

4 (- (- sin^{3} (arcsec (\frac{1}{4} x)) cos (arcsec (\frac{1}{4} x)) + \frac{3}{2} arcsec (\frac{1}{4} x) - \frac{3}{4} sin (2 arcsec (\frac{1}{4} x))) + sin^{4} (arcsec (\frac{1}{4} x)) tan (arcsec (\frac{1}{4} x))) : \frac{16 ( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{4}} - 6 arcsec (\frac{1}{4} x) + 3 sin (2 arcsec (\frac{1}{4} x)) + \frac{( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{5}{2}}}{x ^{4}}

= \frac{16 ( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{4}} - 6 arcsec (\frac{1}{4} x) + 3 sin (2 arcsec (\frac{1}{4} x)) + \frac{( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{5}{2}}}{x ^{4}}

定数を解答に追加する

= \frac{16 ( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{4}} - 6 arcsec (\frac{1}{4} x) + 3 sin (2 arcsec (\frac{1}{4} x)) + \frac{( x ^{2} - 16 ) ^{\frac{5}{2}}}{x ^{4}} + C

グラフ

人気の例

integral of 6x^3

\int 6 x^{3} d x

integral of x7^x

\int x 7^{x} d x

integral of (sin(2x))/(4+cos^2(x))

\int \frac{sin ( 2 x )}{4 + cos ^{2} ( x )} d x

integral of (x^2+x)e^{1-2x}

\int (x^{2} + x) e^{1 - 2 x} d x

integral of sin(9x)cos(6x)

\int sin (9 x) cos (6 x) d x