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人気のある微分積分 >

integral of (5x+1)/(x^2-6x+13)

解

\int \frac{5 x + 1}{x ^{2} - 6 x + 13} d x

解

\frac{5}{2} ln x^{2} - 6 x + 13 + 8 arctan (\frac{1}{2} (x - 3)) + C

解答ステップ

\int \frac{5 x + 1}{x ^{2} - 6 x + 13} d x

平方完成する

x^{2} - 6 x + 13 : (x - 3)^{2} + 4

= \int \frac{5 x + 1}{( x - 3 ) ^{2} + 4} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{5 u + 16}{u ^{2} + 4} d u

拡張

\frac{5 u + 16}{u ^{2} + 4} : \frac{5 u}{u ^{2} + 4} + \frac{16}{u ^{2} + 4}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{5 u}{u ^{2} + 4} d u + \int \frac{16}{u ^{2} + 4} d u

\int \frac{5 u}{u ^{2} + 4} d u = \frac{5}{2} ln u^{2} + 4

\int \frac{16}{u ^{2} + 4} d u = 8 arctan (\frac{u}{2})

= \frac{5}{2} ln u^{2} + 4 + 8 arctan (\frac{u}{2})

代用を戻す

u = x - 3

= \frac{5}{2} ln (x - 3)^{2} + 4 + 8 arctan (\frac{x - 3}{2})

簡素化

\frac{5}{2} ln (x - 3)^{2} + 4 + 8 arctan (\frac{x - 3}{2}) : \frac{5}{2} ln x^{2} - 6 x + 13 + 8 arctan (\frac{1}{2} (x - 3))

= \frac{5}{2} ln x^{2} - 6 x + 13 + 8 arctan (\frac{1}{2} (x - 3))

定数を解答に追加する

= \frac{5}{2} ln x^{2} - 6 x + 13 + 8 arctan (\frac{1}{2} (x - 3)) + C

グラフ

人気の例

integral of (3e^x)/(e^{2x)+8e^x+16}

\int \frac{3 e ^{x}}{e ^{2 x} + 8 e ^{x} + 16} d x

integral of 4x-x^2

\int 4 x - x^{2} d x

sum from n=0 to infinity of ne^n

n = 0 \sum \infty n e^{n}

integral of x+10

\int x + 10 d x

integral from 0 to 4 of (4x-x^2)

\int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x