マクローリン f(x)= x/2 (1+(x/2)^2)^{-1/2}

解

マクローリン

f (x) = \frac{x}{2} (1 + (\frac{x}{2})^{2})^{- \frac{1}{2}}

\frac{1}{2} x - \frac{1}{16} x^{3} + \frac{3}{256} x^{5} - \frac{5}{2048} x^{7} + \frac{35}{65536} x^{9} + \dots

解答ステップ

マクローリンの公式を適用する

= 0 + \frac{\frac{d}{d x} ( \frac{x}{2} ( 1 + ( \frac{x}{2} ) ^{2} ) ^{- \frac{1}{2}} ) ( 0 )}{1 !} x + \frac{\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} ( \frac{x}{2} ( 1 + ( \frac{x}{2} ) ^{2} ) ^{- \frac{1}{2}} ) ( 0 )}{2 !} x^{2} + \frac{\frac{d ^{3}}{d x ^{3}} ( \frac{x}{2} ( 1 + ( \frac{x}{2} ) ^{2} ) ^{- \frac{1}{2}} ) ( 0 )}{3 !} x^{3} + \dots

導関数を評価する

= 0 + \frac{\frac{1}{2}}{1 !} x + \frac{0}{2 !} x^{2} + \frac{- \frac{3}{8}}{3 !} x^{3} + \frac{0}{4 !} x^{4} + \frac{\frac{45}{32}}{5 !} x^{5} + \frac{0}{6 !} x^{6} + \frac{- \frac{1575}{128}}{7 !} x^{7} + \frac{0}{8 !} x^{8} + \frac{\frac{99225}{512}}{9 !} x^{9} + \dots

改良

= \frac{1}{2} x - \frac{1}{16} x^{3} + \frac{3}{256} x^{5} - \frac{5}{2048} x^{7} + \frac{35}{65536} x^{9} + \dots