integral of (e^{-x}(-4+4xln(x)))/(2x)

解答

\int \frac{e ^{- x} ( - 4 + 4 x ln ( x ) )}{2 x} d x

- 2 e^{- x} ln (x) + C

求解步骤

\int \frac{e ^{- x} ( - 4 + 4 x ln ( x ) )}{2 x} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{e ^{- x} ( - 4 + 4 x ln ( x ) )}{x} d x

乘开

\frac{e ^{- x} ( - 4 + 4 x ln ( x ) )}{x} : - \frac{4 e ^{- x}}{x} + 4 e^{- x} ln (x)

= \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{4 e ^{- x}}{x} + 4 e^{- x} ln (x) d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int \frac{4 e ^{- x}}{x} d x + \int 4 e^{- x} ln (x) d x)

\int \frac{4 e ^{- x}}{x} d x = 4 Ei (- x)

\int 4 e^{- x} ln (x) d x = 4 (- e^{- x} ln (x) + Ei (- x))

= \frac{1}{2} (- 4 Ei (- x) + 4 (- e^{- x} ln (x) + Ei (- x)))

化简

\frac{1}{2} (- 4 Ei (- x) + 4 (- e^{- x} ln (x) + Ei (- x))) : - 2 e^{- x} ln (x)

= - 2 e^{- x} ln (x)

解答补常数

= - 2 e^{- x} ln (x) + C