inverselaplace 6/(s(s+1)(s+2)+6)

解

逆ラプラス

\frac{6}{s ( s + 1 ) ( s + 2 ) + 6}

\frac{6}{11} e^{- 3 t} - \frac{6}{11} cos (2 t) + \frac{9 2 sin ( 2 t )}{11}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{6}{s ( s + 1 ) ( s + 2 ) + 6}}

以下の部分分数を得る:

\frac{6}{s ( s + 1 ) ( s + 2 ) + 6} : \frac{6}{11 ( s + 3 )} + \frac{- 6 s + 18}{11 ( s ^{2} + 2 )}

= L^{- 1} {\frac{6}{11 ( s + 3 )} + \frac{- 6 s + 18}{11 ( s ^{2} + 2 )}}

拡張

= L^{- 1} {- \frac{6 s}{11 ( s ^{2} + 2 )} + \frac{6}{11 ( s + 3 )} + \frac{18}{11 ( s ^{2} + 2 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{6}{11} L^{- 1} {\frac{1}{s + 3}} - \frac{6}{11} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 2}} + \frac{18}{11} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 2}}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 3}} : e^{- 3 t}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 2}} : cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 2}} : \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{6}{11} e^{- 3 t} - \frac{6}{11} cos (2 t) + \frac{18}{11} \cdot \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

\frac{6}{11} e^{- 3 t} - \frac{6}{11} cos (2 t) + \frac{18}{11} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{6}{11} e^{- 3 t} - \frac{6}{11} cos (2 t) + \frac{9 2 sin ( 2 t )}{11}

= \frac{6}{11} e^{- 3 t} - \frac{6}{11} cos (2 t) + \frac{9 2 sin ( 2 t )}{11}