integral of (x^2)/(sqrt(9+x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{9 + x ^{2}} d x

9 (- \frac{1}{2} ln (\frac{x + 9 + x ^{2}}{3}) + \frac{1}{18} x 9 + x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{9 + x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 9 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 9 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{3} x)

ein

= 9 (- ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{3} x)) tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x)))

Vereinfache

9 (- ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{3} x)) tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x))) : 9 (- \frac{1}{2} ln (\frac{x + 9 + x ^{2}}{3}) + \frac{1}{18} x 9 + x^{2})

= 9 (- \frac{1}{2} ln (\frac{x + 9 + x ^{2}}{3}) + \frac{1}{18} x 9 + x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 9 (- \frac{1}{2} ln (\frac{x + 9 + x ^{2}}{3}) + \frac{1}{18} x 9 + x^{2}) + C

\frac{d}{d x} ((x^{2} - 4)^{\frac{1}{3}})

a re a x = - 2, x = 1, y = 2 x^{2} + 4, y = 0

\int x^{3} cos (n x) d x

d er i v a t i v e f (x) = r + 9 r

x \to - 7 lim (\frac{x}{x - 2})