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integral of (sqrt(x))/(x+x^{4/5)}

解

\int \frac{x}{x + x ^{\frac{4}{5}}} d x

解

解答ステップ

\int \frac{x}{x + x ^{\frac{4}{5}}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{10 u ^{6}}{u ^{2} + 1} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 10 \cdot \int \frac{u ^{6}}{u ^{2} + 1} d u

長除法

\frac{u ^{6}}{u ^{2} + 1} : u^{4} - u^{2} + 1 - \frac{1}{u ^{2} + 1}

= 10 \cdot \int u^{4} - u^{2} + 1 - \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 10 (\int u^{4} d u - \int u^{2} d u + \int 1 d u - \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u)

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= 10 (\frac{u ^{5}}{5} - \frac{u ^{3}}{3} + u - arctan (u))

代用を戻す

u = x^{\frac{1}{10}}

= 10 \frac{( x ^{\frac{1}{10}} ) ^{5}}{5} - \frac{( x ^{\frac{1}{10}} ) ^{3}}{3} + x^{\frac{1}{10}} - arctan (x^{\frac{1}{10}})

簡素化

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