inverselaplace (s-1)/(2s^2+8s+11)

解

逆ラプラス

\frac{s - 1}{2 s ^{2} + 8 s + 11}

\frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (\frac{3}{2} t) - \frac{3}{2} e^{- 2 t} sin (\frac{3}{2} t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s - 1}{2 s ^{2} + 8 s + 11}}

拡張

\frac{s - 1}{2 s ^{2} + 8 s + 11} : \frac{1}{2} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + \frac{3}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + \frac{3}{2}}

= L^{- 1} {\frac{1}{2} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + \frac{3}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + \frac{3}{2}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + \frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + \frac{3}{2}}}

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + \frac{3}{2}}} : e^{- 2 t} cos (\frac{3}{2} t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + \frac{3}{2}}} : e^{- 2 t} \frac{2}{3} sin (\frac{3}{2} t)

= \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (\frac{3}{2} t) - \frac{3}{2} e^{- 2 t} \frac{2}{3} sin (\frac{3}{2} t)

改良

\frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (\frac{3}{2} t) - \frac{3}{2} e^{- 2 t} \frac{2}{3} sin (\frac{3}{2} t) : \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (\frac{3}{2} t) - \frac{3}{2} e^{- 2 t} sin (\frac{3}{2} t)

= \frac{1}{2} e^{- 2 t} cos (\frac{3}{2} t) - \frac{3}{2} e^{- 2 t} sin (\frac{3}{2} t)