integral from 0 to 2pi of x^2cos(nx)

解

\int_{0}^{2 π} x^{2} cos (n x) d x

\frac{4 π ^{2} n ^{2} sin ( 2 πn ) - 2 ( sin ( 2 πn ) - 2 πn cos ( 2 πn ) )}{n ^{3}}

解答ステップ

\int_{0}^{2 π} x^{2} cos (n x) d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{n \cdot 2 π} \frac{u ^{2} cos ( u )}{n ^{3}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{n ^{3}} \cdot \int_{0}^{n \cdot 2 π} u^{2} cos (u) d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{n ^{3}} [u^{2} sin (u) - \int 2 u sin (u) d u]_{0}^{n \cdot 2 π}

\int 2 u sin (u) d u = 2 (- u cos (u) + sin (u))

= \frac{1}{n ^{3}} [u^{2} sin (u) - 2 (- u cos (u) + sin (u))]_{0}^{n \cdot 2 π}

限度を計算する:

4 π^{2} n^{2} sin (2 πn) - 2 (sin (2 πn) - 2 πn cos (2 πn))

= \frac{1}{n ^{3}} (4 π^{2} n^{2} sin (2 πn) - 2 (sin (2 πn) - 2 πn cos (2 πn)))

簡素化

= \frac{4 π ^{2} n ^{2} sin ( 2 πn ) - 2 ( sin ( 2 πn ) - 2 πn cos ( 2 πn ) )}{n ^{3}}