integral of (sqrt(x^2-36))/(x^2)

Lösung

\int \frac{x ^{2} - 36}{x ^{2}} d x

ln (\frac{1}{6} x^{2} - 36 + x) - \frac{x ^{2} - 36}{x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2} - 36}{x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int tan^{2} (u) cos (u) d u

Vereinfache

tan^{2} (u) cos (u) : sin (u) tan (u)

= \int sin (u) tan (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u)

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{6} x)

ein

= ln tan (arcsec (\frac{1}{6} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{6} x)) - sin (arcsec (\frac{1}{6} x))

Vereinfache

ln tan (arcsec (\frac{1}{6} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{6} x)) - sin (arcsec (\frac{1}{6} x)) : ln (\frac{1}{6} x^{2} - 36 + x) - \frac{x ^{2} - 36}{x}

= ln (\frac{1}{6} x^{2} - 36 + x) - \frac{x ^{2} - 36}{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln (\frac{1}{6} x^{2} - 36 + x) - \frac{x ^{2} - 36}{x} + C