integral of ((x^2)/(sqrt(9-x^2)))

Lösung

\int (\frac{x ^{2}}{9 - x ^{2}}) d x

\frac{1}{2} (9 arcsin (\frac{x}{3}) - x 9 - x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{9 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 9 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3} x)

ein

= 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) : \frac{1}{2} (9 arcsin (\frac{x}{3}) - x 9 - x^{2})

= \frac{1}{2} (9 arcsin (\frac{x}{3}) - x 9 - x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (9 arcsin (\frac{x}{3}) - x 9 - x^{2}) + C

\frac{d}{d x} (\frac{( 2 x ^{3} + a x + a )}{x ^{2} - 1})

\int 4 x^{2} e^{x^{3}} d x

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{2}}{8 - 8 x})

x \to 0 lim (sin (x) + cos (x))

d er i v a t i v e y = \frac{x ^{3} + 8}{x}