integral of x^2sin(ln(x))

Lösung

\int x^{2} sin (ln (x)) d x

- \frac{1}{10} x^{3} cos (ln (x)) + \frac{3}{10} x^{3} sin (ln (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} sin (ln (x)) d x

Wende U-Substitution an

= \int e^{3 u} sin (u) d u

Wende die partielle Integration an

= - e^{3 u} cos (u) - \int - 3 e^{3 u} cos (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{3 u} cos (u) - (- 3 \cdot \int e^{3 u} cos (u) d u)

Wende die partielle Integration an

= - e^{3 u} cos (u) - (- 3 (e^{3 u} sin (u) - \int e^{3 u} \cdot 3 sin (u) d u))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{3 u} cos (u) - (- 3 (e^{3 u} sin (u) - 3 \cdot \int e^{3 u} sin (u) d u))

Deshalb

\int e^{3 u} sin (u) d u = - e^{3 u} cos (u) - (- 3 (e^{3 u} sin (u) - 3 \cdot \int e^{3 u} sin (u) d u))

Isoliere

\int e^{3 u} sin (u) d u

= - \frac{e ^{3 u} cos ( u )}{10} + \frac{3 e ^{3 u} sin ( u )}{10}

Setze in

u = ln (x)

ein

= - \frac{e ^{3 l n (x)} cos ( ln ( x ) )}{10} + \frac{3 e ^{3 l n (x)} sin ( ln ( x ) )}{10}

Vereinfache

- \frac{e ^{3 l n (x)} cos ( ln ( x ) )}{10} + \frac{3 e ^{3 l n (x)} sin ( ln ( x ) )}{10} : - \frac{1}{10} x^{3} cos (ln (x)) + \frac{3}{10} x^{3} sin (ln (x))

= - \frac{1}{10} x^{3} cos (ln (x)) + \frac{3}{10} x^{3} sin (ln (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{10} x^{3} cos (ln (x)) + \frac{3}{10} x^{3} sin (ln (x)) + C