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人気のある微分積分 >

integral of 1/(y^2+y-2)

解

\int \frac{1}{y ^{2} + y - 2} d y

解

- \frac{1}{3} (ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} y - ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} y) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{y ^{2} + y - 2} d y

平方完成する

y^{2} + y - 2 : (y + \frac{1}{2})^{2} - \frac{9}{4}

= \int \frac{1}{( y + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{9}{4}} d y

u置換積分法を適用する

= \int \frac{4}{4 u ^{2} - 9} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} - 9} d u

置換積分法を適用する

= 4 \cdot \int \frac{1}{6 ( v ^{2} - 1 )} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

因数

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{6} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

代用を戻す

= 4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln \frac{2}{3} ( y + \frac{1}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{3} ( y + \frac{1}{2} ) - 1}{2}))

簡素化

4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln \frac{2}{3} ( y + \frac{1}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{3} ( y + \frac{1}{2} ) - 1}{2})) : - \frac{1}{3} (ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} y - ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} y)

= - \frac{1}{3} (ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} y - ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} y)

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{3} (ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} y - ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} y) + C

グラフ

人気の例

integral of sec^2(x)(1+tan^2(x))

\int sec^{2} (x) (1 + tan^{2} (x)) d x

integral of sin^3(7x)cos(7x)

\int sin^{3} (7 x) cos (7 x) d x

integral of (1-x)/(x^2-x+1)

\int \frac{1 - x}{x ^{2} - x + 1} d x

integral of x 1/(1+x^2)

\int x \frac{1}{1 + x ^{2}} d x

integral of 1/(3x^2-2)

\int \frac{1}{3 x ^{2} - 2} d x