интеграл от 3e^{-3x}x^2

Решение

\int 3 e^{- 3 x} x^{2} d x

- e^{- 3 x} x^{2} - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x - \frac{2}{9} e^{- 3 x} + C

Шаги решения

\int 3 e^{- 3 x} x^{2} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int e^{- 3 x} x^{2} d x

Применить подстановку интеграла

= 3 \cdot \int - \frac{e ^{u} u ^{2}}{27} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 (- \frac{1}{27} \cdot \int e^{u} u^{2} d u)

Применить интегрирование по частям

= 3 (- \frac{1}{27} (u^{2} e^{u} - \int 2 u e^{u} d u))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 (- \frac{1}{27} (u^{2} e^{u} - 2 \cdot \int u e^{u} d u))

Применить интегрирование по частям

= 3 (- \frac{1}{27} (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - \int e^{u} d u)))

Использовать общий интеграл:

\int e^{u} d u = e^{u}

= 3 (- \frac{1}{27} (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))

Делаем обратную замену

u = - 3 x

= 3 (- \frac{1}{27} ((- 3 x)^{2} e^{- 3 x} - 2 (e^{- 3 x} (- 3 x) - e^{- 3 x})))

Упростите

3 (- \frac{1}{27} ((- 3 x)^{2} e^{- 3 x} - 2 (e^{- 3 x} (- 3 x) - e^{- 3 x}))) : - e^{- 3 x} x^{2} - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x - \frac{2}{9} e^{- 3 x}

= - e^{- 3 x} x^{2} - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x - \frac{2}{9} e^{- 3 x}

Добавить константу к решению

= - e^{- 3 x} x^{2} - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x - \frac{2}{9} e^{- 3 x} + C