integral of (cos(x))/(sin(x)(1+sin(x)))

Lösung

\int \frac{cos ( x )}{sin ( x ) ( 1 + sin ( x ) )} d x

ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ( x )}{sin ( x ) ( 1 + sin ( x ) )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{cot ( x )}{1 + sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u - 1}{u ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1}

= - \int - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

= - (- ln ∣ u ∣ + 2 ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= - (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1)

Vereinfache

= ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1 + C

\int - \frac{1100}{x ^{2}} d x

\int 1 + x^{4} + 2 x^{2} d x

\int \frac{5}{( 3 x - 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1} d x

\int \frac{cos ( t )}{3 + sin ( t )} d t