integral of 1/(9xlog_{3)(x)}

解

\int \frac{1}{9 x lo g _{3} ( x )} d x

\frac{1}{9} (\frac{1 - x lo g _{3} ( x )}{lo g _{3} ( x )} + x - \frac{1}{ln ( 3 ) lo g _{3} ( e ) ^{2}} (- ln ∣ ln (x) ∣ + \frac{1}{ln ( x )})) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{9 x lo g _{3} ( x )} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{x lo g _{3} ( x )} d x

\frac{1}{x lo g _{3} ( x )} = \frac{1 - x lo g _{3} ( x )}{x lo g _{3} ( x )} + 1

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1 - x lo g _{3} ( x )}{x lo g _{3} ( x )} + 1 d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{9} (\frac{1 - x lo g _{3} ( x )}{lo g _{3} ( x )} + x - \int \frac{- ln ( x ) - 1}{ln ( 3 ) x lo g _{3} ( x ) ^{2}} d x)

\int \frac{- ln ( x ) - 1}{ln ( 3 ) x lo g _{3} ( x ) ^{2}} d x = \frac{1}{ln ( 3 ) lo g _{3} ( e ) ^{2}} (- ln ∣ ln (x) ∣ + \frac{1}{ln ( x )})

= \frac{1}{9} (\frac{1 - x lo g _{3} ( x )}{lo g _{3} ( x )} + x - \frac{1}{ln ( 3 ) lo g _{3} ( e ) ^{2}} (- ln ∣ ln (x) ∣ + \frac{1}{ln ( x )}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{9} (\frac{1 - x lo g _{3} ( x )}{lo g _{3} ( x )} + x - \frac{1}{ln ( 3 ) lo g _{3} ( e ) ^{2}} (- ln ∣ ln (x) ∣ + \frac{1}{ln ( x )})) + C