integral of e^{-t}cos(pit)

Lösung

\int e^{- t} cos (π t) d t

\frac{π e ^{- t} sin ( π t )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- t} cos ( π t )}{π ^{2} + 1} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- t} cos (π t) d t

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{π} e^{- t} sin (π t) - \int - \frac{1}{π} e^{- t} sin (π t) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} e^{- t} sin (π t) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- t} sin (π t) d t)

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{π} e^{- t} sin (π t) - (- \frac{1}{π} (- \frac{1}{π} e^{- t} cos (π t) - \int \frac{1}{π} e^{- t} cos (π t) d t))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} e^{- t} sin (π t) - (- \frac{1}{π} (- \frac{1}{π} e^{- t} cos (π t) - \frac{1}{π} \cdot \int e^{- t} cos (π t) d t))

Deshalb

\int e^{- t} cos (π t) d t = \frac{1}{π} e^{- t} sin (π t) - (- \frac{1}{π} (- \frac{1}{π} e^{- t} cos (π t) - \frac{1}{π} \cdot \int e^{- t} cos (π t) d t))

Isoliere

\int e^{- t} cos (π t) d t

= \frac{π e ^{- t} sin ( π t )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- t} cos ( π t )}{π ^{2} + 1}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{π e ^{- t} sin ( π t )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- t} cos ( π t )}{π ^{2} + 1} + C