integral of 1/((sqrt(x^2+9))^3)

Lời Giải

\int \frac{1}{( x ^{2} + 9 ) ^{3}} d x

\frac{x}{9 9 + x ^{2}} + C

Các bước giải pháp

\int \frac{1}{( x ^{2} + 9 ) ^{3}} d x

Áp dụng quy tắc số mũ:

(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}

(x^{2} + 9)^{3} = (x^{2} + 9)^{\frac{3}{2}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Nhân với liên hợp của

x^{2} + 9 : \frac{x ^{4} - 81}{x ^{2} - 9}

= \int \frac{1}{( \frac{x ^{4} - 81}{x ^{2} - 9} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

= \int \frac{1}{9 ( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Áp dụng phép thay thế lượng giác

= \frac{1}{9} \cdot \int cos (v) d v

Sử dụng tích phân chung:

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{9} sin (v)

Thay thế trở lại

= \frac{1}{9} sin (arctan (\frac{x}{3}))

Rút gọn

\frac{1}{9} sin (arctan (\frac{x}{3})) : \frac{x}{9 9 + x ^{2}}

= \frac{x}{9 9 + x ^{2}}

Thêm một hằng số vào Lời giải

= \frac{x}{9 9 + x ^{2}} + C