integral of (2x)/(1-2x)

Lösung

\int \frac{2 x}{1 - 2 x} d x

\frac{1}{2} - x - \frac{1}{2} ln ∣ 1 - 2 x ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x}{1 - 2 x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{x}{1 - 2 x} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{u - 1}{4 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{u - 1}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{u - 1}{u} : 1 - \frac{1}{u}

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int 1 - \frac{1}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{4} (\int 1 d u - \int \frac{1}{u} d u)

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= 2 \cdot \frac{1}{4} (u - ln ∣ u ∣)

Setze in

u = 1 - 2 x

ein

= 2 \cdot \frac{1}{4} (1 - 2 x - ln ∣ 1 - 2 x ∣)

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{4} (1 - 2 x - ln ∣ 1 - 2 x ∣) : \frac{1}{2} - x - \frac{1}{2} ln ∣ 1 - 2 x ∣

= \frac{1}{2} - x - \frac{1}{2} ln ∣ 1 - 2 x ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} - x - \frac{1}{2} ln ∣ 1 - 2 x ∣ + C