integral of (2x-2)/((x-1)^3+4(x-1))

Lösung

\int \frac{2 x - 2}{( x - 1 ) ^{3} + 4 ( x - 1 )} d x

arctan (\frac{1}{2} (x - 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x - 2}{( x - 1 ) ^{3} + 4 ( x - 1 )} d x

Ermittle den Partialbruch von

\frac{2 x - 2}{( x - 1 ) ^{3} + 4 ( x - 1 )} : \frac{2}{x ^{2} - 2 x + 5}

= \int \frac{2}{x ^{2} - 2 x + 5} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} - 2 x + 5} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 2 x + 5 : (x - 1)^{2} + 4

= 2 \cdot \int \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} + 4} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{x - 1}{2})

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{x - 1}{2}) : arctan (\frac{1}{2} (x - 1))

= arctan (\frac{1}{2} (x - 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (\frac{1}{2} (x - 1)) + C