integral of (x^3+5x-1)e^x

Lösung

\int (x^{3} + 5 x - 1) e^{x} d x

e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 11 e^{x} x - 12 e^{x} + C

Schritte zur Lösung

\int (x^{3} + 5 x - 1) e^{x} d x

Multipliziere aus

(x^{3} + 5 x - 1) e^{x} : e^{x} x^{3} + 5 e^{x} x - e^{x}

= \int e^{x} x^{3} + 5 e^{x} x - e^{x} d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{x} x^{3} d x + \int 5 e^{x} x d x - \int e^{x} d x

\int e^{x} x^{3} d x = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))

\int 5 e^{x} x d x = 5 (e^{x} x - e^{x})

\int e^{x} d x = e^{x}

= x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})) + 5 (e^{x} x - e^{x}) - e^{x}

Vereinfache

x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})) + 5 (e^{x} x - e^{x}) - e^{x} : e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 11 e^{x} x - 12 e^{x}

= e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 11 e^{x} x - 12 e^{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 11 e^{x} x - 12 e^{x} + C