integral of 1/(sqrt(x^2-4x+1))

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - 4 x + 1} d x

ln \frac{1}{3} (x^{2} - 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x - 2) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - 4 x + 1} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 4 x + 1 : (x - 2)^{2} - 3

= \int \frac{1}{( x - 2 ) ^{2} - 3} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} - 3} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int sec (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

Ersetze zurück

= ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2)))

Vereinfache

ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) : ln \frac{1}{3} (x^{2} - 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x - 2)

= ln \frac{1}{3} (x^{2} - 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x - 2)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln \frac{1}{3} (x^{2} - 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x - 2) + C