integral of e^{-px}sin(wx)

Lösung

\int e^{- p x} sin (w x) d x

- \frac{w e ^{- p x} cos ( w x )}{w ^{2} + p ^{2}} - \frac{p e ^{- p x} sin ( w x )}{w ^{2} + p ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- p x} sin (w x) d x

Wende die partielle Integration an

= - e^{- p x} \frac{1}{w} cos (w x) - \int p e^{- p x} \frac{1}{w} cos (w x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- p x} \frac{1}{w} cos (w x) - p \frac{1}{w} \cdot \int e^{- p x} cos (w x) d x

Vereinfache

p \frac{1}{w} : \frac{p}{w}

= - e^{- p x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{p}{w} \cdot \int e^{- p x} cos (w x) d x

Wende die partielle Integration an

= - e^{- p x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{p}{w} (e^{- p x} \frac{1}{w} sin (w x) - \int - p e^{- p x} \frac{1}{w} sin (w x) d x)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- p x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{p}{w} (e^{- p x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- p \frac{1}{w} \cdot \int e^{- p x} sin (w x) d x))

Vereinfache

- p \frac{1}{w} : - \frac{p}{w}

= - e^{- p x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{p}{w} (e^{- p x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{p}{w} \cdot \int e^{- p x} sin (w x) d x))

Deshalb

\int e^{- p x} sin (w x) d x = - e^{- p x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{p}{w} (e^{- p x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{p}{w} \cdot \int e^{- p x} sin (w x) d x))

Isoliere

\int e^{- p x} sin (w x) d x

= - \frac{w e ^{- p x} cos ( w x )}{w ^{2} + p ^{2}} - \frac{p e ^{- p x} sin ( w x )}{w ^{2} + p ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{w e ^{- p x} cos ( w x )}{w ^{2} + p ^{2}} - \frac{p e ^{- p x} sin ( w x )}{w ^{2} + p ^{2}} + C

\int \frac{1}{2} sin (2) d x

\int \frac{- cos ( x )}{sin ^{2} ( x )} d x

\int (8 x + 3) e^{x} d x

\int 2 k x d x

\int \frac{16}{( 16 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x